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2. Per verificare la (4), studiamo dapprima la funzione 9 x (s). I risul- 

 tati del Fredholm (vedi (P) 2 , § 6, n. 14) ci dànno che la 9^s) soddisfa 

 all'equazione funzionale omogenea: 



Allora, posto: 



W(a? , y) = — ~- f log r . 9,(8) ds , 



Alt yj Q 



si avrà, scrivendo la (2) relativa alla W(x , y) , 



e quindi sarà in tutti i punti p = (x,y) dell'area <r (i punti di s inclusi): 



(5) W(:c ,y) = k (costante). 



Dunque lo strato lineare W(x , y) nei punti di C prende il valore 

 costante A ; ed inoltre, scrivendo la (3) relativa alla Vf(x , y) e tenendo 

 presente la (2)', risulta: 



,.. dW m x 



Questo risultato per il caso delle tre dimensioni si può interpetrare nel 

 seguente modo: la funzione 9,(s) rappresenta la densità di una massa 

 elettrica in equilibrio distribuita sulla superficie chiusa che si considera ; 

 in altri termini la funzione 9,(s) risolve il problema fondamentale del- 

 l'elettrostatica. 



3. Ciò premesso, risulta immediatamente dalla (5) e dalla (t), come 

 si voleva dimostrare, 



Jxi(s) . 9,(8) ds = ~ £9,(8) ds £log r 0 . f(s') ds' = 



= ~ [f(s')ds' flogro . 9 t (s) ds = — A f f(s') ds' = 0 . 



uTl J c J c J C 



Verificata la (4), indichiamo con('): 



il doppio strato lineare secondo cui si trasforma nel campo a' lo strato 

 lineare U(j?,y); e si consideri la funzione armonica: 



K( X ,y) = U(,v,y)-V(z,y). 

 (') Cfr. la (L) 2 , Art. I, torm. (4). 



