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Adunque le {unzioni u(x , y , z) , v{x ,y,s), w(x ,y,s), date dalle for- 

 inole (14), soddisfanno nei punti del campo S alle equazioni dell'equilibrio 

 dei solidi elastici isotropi e } nei punti di a, le corrispondenti espressioni 

 (4) della (L)i coincidono con le funzioni arbitrariamente date X c ,Ya,Z 0 . 



Il problema analogo per il campo infinito S' si risolve nella medesima 

 maniera, con l'avvertenza che in questo caso le condizioni (9) non sono ne- 

 cessarie e le considerazioni precedenti si semplificano notevolmente. 



Matematica. — Su un lemma del Poincaré. Nota del dott. Eu- 

 genio Elia Levi, presentata dal Socio Luigi Bianchi. 



1. Il Poincaré nella sua nota Memoria : Sur les équations de la Phy- 

 sique Mathématique enunciò il seguente teorema: 



Si abbia una funzione della forma f(x , y) = a 1 f x {% , y) -f- a 2 f%{x , y) -f- 

 -f- ••■ -J- a„ f n (x , y) dove le fi(x , y) sono funzioni linearmente indipendenti 

 del punto (x , y) mobile in un campo D e le a t - sono costanti arbitrarie. 

 Si possono sempre scegliere le a { in modo che, almeno quando n sia suffi- 

 cientemente grande, il rapporto 



Jj f dx dy 

 f 2 dx dy 



sia maggiore di un numero L n dipendente solamente dal campo D e tale 

 che lim L ;i = co . 



n=-.o 



Questo teorema posero a fondamento delle loro ricerche parecchi autori 

 che dopo il Poincaré si occuparono del problema di Dirichlet ed in parti- 

 colar modo del metodo di Neumann e della teoria delle funzioni fondamen- 

 tali ( 2 ). Recentemente però il prof. Lauricella ( 3 ) mosse una notevole obie- 

 zione alla dimostrazione del Poincaré. Il Poincaré per giungere al teorema 

 sopra enunciato dimostrava anzitutto il lemma preliminare seguente: 



Se una funzione f(x , y) in un campo convesso D la cui massima 



corda non superi l soddisfa all'equazione jj*f(xy)dxdy = Q si ha 



(') Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 1894.. § III, pag. 70 e seg. Vedi 

 anche la Memoria dell'American Journal, tomo XII, portante lo stesso titolo. 



( 2 ) Cfr. specialmente i lavori dello Steckloff, dello Zaremba, del Liapounolf. 



( 3 ) Lauricella, SulV integrazione delle equazioni dell'equilibrio dei corpi elastici. 

 Annali di Matematica Serie 3 a , Voi. XI, 1903. 



