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^> — . Dopo di che, preso un campo D che si potesse spes- 



f~ dx dy 



zare in un numero finito p di campi convessi D t la cui massima corda 

 fosse l, supposto n^>p, determinando le a; in modo che in ognuno dei 



campi Di fosse soddisfatta l'equazione fdxdy = 0 risultava che anche 



JJ^ìfdxdy 16 



per l'intero campo si aveva D = 9P' ^ acen< ^° crescere il nu_ 



JJr dx dy 



mero p e con esso il numero n , si poteva rendere piccolo a piacere / ; onde 

 si otteneva il teorema enunciato. 



Bisognava però ammettere a tal fine che un campo D si possa sempre 

 spezzare in un numero finito di campi convessi: ora il Lauricella osservò che 

 ciò non è sempre possibile. Basta infatti che il campo abbia un tratto del 

 contorno regolare, ma tale che in ogni punto del tratto la tangente giaccia, 

 almeno in un certo intorno del punto, entro il campo, perchè il campo non 

 si possa più spezzare in un numero finito di campi convessi. 



Nella presente Nota mi propongo di rimuovere, almeno per una estesa 

 classe di campi, l'obbiezione del prof. Lauricella. In una Nota successiva 

 mostrerò come i campi ordinariamente studiati rientrino nella classe di quelli 

 per cui qui è dimostrato valido il teorema. 



2. Comincerò perciò col sostituire al lemma preliminare del Poincaré, 

 un nuovo lemma riferentesi ad una classe di contorni più estesa di quella 

 dei contorni convessi. 



Supponiamo che sia D un campo convesso rispetto ad un suo punto 

 interno 0, e cioè tale che ogni retta per 0 incontri il contorno di D in 

 soli due punti. Possiamo supporre che 0 sia l'origine. Sia Di il massimo 

 cerchio contenuto in D col centro nel punto 0, / il suo raggio; D 2 l'area 

 interna a D esterna a D,; L la massima distanza di 0 dal contorno di D ; 

 sia t l'area di D, : % = np. Sia infine f(x , y) una funzione che in D sod- 

 disfaccia all'equazione 



( 1 ) /'(<£ , y) dx dy — 0 . 



Si indichi con x'y' un qualunque punto interno a D,: sarà in virtù di (1) 



jj f\x , y) dx dy < L7(^ , y) — f{%\ y')J dy 



