﻿— 85 — 



e quindi ancora 



JJ d f\x ,y)dxdy<\ jj^ dx' dy' f£ tf(x,y)~ f(x' , y')J dx dy = 



(i) = \ jjjx' dy' Jjj: a* . y) - fi*' . y')J dx d v + 



T J Jd ^' ^' ffnJ-^ X ' ^ _ ' ^ ^ ^ ' 



Esaminiamo successivamente gli integrali del secondo membro. 



3. L'analisi relativa al primo integrale è quella stessa usata dal Poin- 

 caré. Basta infatti osservare che ponendo g>(x , y) = f(x ,y) — c si può 



disporre della costante c in modo che J~j~ <p{% \, y) dx dy = 0 ; e l'inte- 

 grale dx'dy' U( x ' — fi x » y')J dx dy non differirà dall' inte- 

 graie dx'dy' [^(^ , — (p(x' , y')~] 2 dx dy poiché evidentemente 

 (p(x,ij) — cp(x' , y) = f{x , y) — f{x' , y'). Analogamente J x cpdxdy — 

 Jxfdx dy. Ma allora si ha dx'dy') [_(p(x , y) — (f {x'ij')~J dx dy = 



2rJ^J" (p 2 (x , y) dx dy ; ora considerando che, essendo il campo Dj un 



cerchio di raggio l , è convesso e la sua massima corda è 21 , si potrà 

 ad esso applicare il lemma del Poincaré pei campi convessi e si avrà 



)J B <P*(z,y)dxdy Qp 



<^— . E, di nuovo passando agli integrali relativi 



J x <p dx dy 



Di 



alla funzione f{xy) , si avrà 



(II) 



lJh dx ' d y'Jf D tf(z - y)) - % x ' . y')J ** d v - 



2 <p-{x , y) dx dy <| / 2 J^j" ^ y cte = ^ j f ^ l t ' dx dl J 



4. Esaminiamo ora il secondo integrale di (I). Introduciamo perciò un 

 sistema di coordinate polari di centro 0 : siano r , y> le coordinate del punto 

 (x , y) ; r' , y>' quelle di (x' , y'): sia Ro il valore di r nel punto in cui il raggio 



