﻿Ma il massimo valore di | (Bjj, — r 3 ) — ^/(R? — r 2 ) si ha per r = l 

 ed allora esso è 



I( R ;_/3 ) _l /(R ^_ n< I R 3 < |! . 



•Quindi sarà 



(5) 2j"d<pj\f(r , 9 ) - f(l , <p)J rdr<\ b £' dy dr. 

 D'altra parte, poiché è J l f>.^z~\ e nel campo D 2 è sempre r~^>l, si ha 



(6) Jj^, fi. iy >Sy j^£j r * > 

 Dalle (3) (5) (6) si deduce 



(IV) *jf D r'dr'dg>' £[ U(r , y) — , g>)J rdrd<p<^j J£ J x fdrc dy. 



Passiamo al secondo integrale di (III). Si ha, poiché l'integrando è 

 indipendente da r, 



t jx r ' dr ' d(p, jL ' ~ ' ^ r dr d(f = 



(7) =\ p [P4 - jrj dSP r ^ r [/(/ , 9) _ /(r ' > r > dr < < 



T 



"2TT fi 



rfy dtp' U(l,<p)-ftr',9>')yr'dr'. 



Questo ultimo integrale dipende dalle sole variabili r' , <p , y'. Facciamo 

 il seguente cambiamento di coordinate: 



r' sm((p' — g>) 



<p = (p , o = \ r'~ -\-L 2 — 2lr' cos (g>' — <p) , ■& = arctg ; — — ; r. 



p v 7 / — rcos(g> — (p) 



In altri termini riferiamo il punto M' = (r' , (p') ad un sistema di coor- 

 dinate polari q , & avente per polo (l , <p) e per asse polare la congiungente 0 

 con (l , tp). Con ciò f(l , g>) — f(r' , <$') diviene una funzione xp(q ,q>,&), 

 nulla per q = 0 ; e la derivata di ip rapporto a q sarà la derivata di f(x' , y') 



secondo la congiungente i punti M' e (l , <jp) ; quindi sarà <^^\f, 



Vii}, r~dg. 



L'integrale dell'ultimo membro di (7) diverrà 

 T2 nix ri rucos% 



<8) — ^J_^J ip 2 (Q,cp,#)<>dQ. 



Rendiconti. 1906, Voi. XV, 2° Sem. 



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