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(9) (10) segue 



(V) | fj^r'dr'dy' JJ^lf(l,<p) — f(r' ,<p')J rdrdy <8L 2 JJ^JJdx dy. 

 5. Dalle disuguaglianze (I) (II) (III) (IV) (V) si deduce 

 j i y) dx 'dy < 



< (|> + 8L' 2 ) fdxdy + l fdxdy< 



<13L 2 J 'j^j f dx dy + |y J ^ \ f dx dy . 



Quindi possiamo enunciare il lemma seguente : 



Se una funzione f(x , y) in un campo D convesso rispetto ad un 

 punto 0 le cui distanze massima e minima dal contorno di D siano L 

 ed l soddisfa all'equazione 



j f(x , y) dx dy = 0 



si ha 



r e 



/fi f dx dy 



JI 



>K 



J"Jf 2 dx dy 



dove K è il minore dei due numeri ~- , , -- V; . 



2Lr lo Ir 



Questo lemma fa l' ufficio del lemma preliminare del Poincaré. Per pas- 

 sare da esso al teorema che abbiamo in vista, basterà ormai seguire il 

 processo del Poincaré già accennato al n. 1 : così il teorema sarà dimostrato 

 per tutti quei campi che si possono spezzare in campi convessi rispetto ad 

 un punto e tali di più che coli' impiccolire di questi si possa fare in modo 

 che K diventi arbitrariamente grande. Ci riserviamo di mostrare in una 

 Nota successiva che ciò è possibile per campi assai generali. 



