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l'irregolarità 1 , delle quali si conoscono, grazie a due Memorie del sig. Berry, 

 quelle dotate di curve multiple ('). 



1. Mediante proiezione da uno, 0, dei punti tripli, una superficie di 

 5° ordine con punti tripli può rappresentarsi sopra un piano doppio x . Se la 

 superficie è irregolare, essa possiede necessariamente un fascio |C| ellittico 

 od iperellittico di curve : il genere del fascio è eguale all' irregolarità della 

 superficie, e le curve del fascio hanno come immagini (semplici) sul piano 

 doppio le curve di un fascio |T|, ad ognuna delle quali corrispondono due 

 curve del fascio |C|. La curva di diramazione del piano doppio si compone 

 allora, se n è il genere del fascio |C|, di 2tt-\-2 curve del fascio |T|, 

 spoglie delle loro componenti multiple, contate il massimo numero pari pos- 

 sibile di volte ( 2 ). Il numero n non può superare 3, appunto perchè le se- 

 zioni piane per 0 sono, al massimo, di genere 3. 



Sia anzitutto 3 il genere del fascio |C|. Le sezioni piane per 0 sono 

 allora curve di genere 3, incontrate in un punto variabile dalle curve C : 

 queste sono adunque curve piane e possono essere o rette o coniche. È nota 

 già l'inesistenza di rigate di 5° ordine e di genere 3 , che non siano coni ( 3 ) ; 

 resta dunque da considerare il caso che le C siano coniche, necessariamente 

 passanti per il punto 0 . I loro piani formano allora fascio attorno ad un 

 asse OH , passante per 0 ed appartenente alla superficie ; ogni piano per OH 

 seca la superficie F lungo OH e due coniche del fascio |G| . Il cono tangente 

 in 0 alla superficie, il quale cono è luogo delle tangenti in 0 a queste co- 

 niche, se è irreducibile, è, al massimo, di genere 1 ed in corrispondenza bi- 

 razionale (come serie oo 1 delle sue generatrici) colla serie oo 1 di curve C , 

 che è di genere 3, ciò che è assurdo. Da questa considerazione e dalle ana- 

 loghe che si posson ripetere in tutti i possibili casi di spezzamento del cono 

 tangente in 0 , segue che le coppie di coniche, secate sulla superficie F da 

 piani per 0 , si toccano in 0 . Se ivi hanno la tangente comune (generica) 

 distinta dalla OH , nell'intorno del punto 0 la superficie F possiede una 

 retta doppia infinitesima, ciò che è in disaccordo col fatto che le sezioni 

 piane per 0 sono di genere 3. Se poi le due coniche toccano sempre in 0 

 la retta OH , e quindi il cono tangente in 0 alla superficie si spezza in 3 

 piani passanti per OH , assunto nello spazio un sistema di coordinate car- 

 tesiane coll'asse & coincidente con OH e col punto 0 all'infinito, l'equazione 

 della superficie dev'essere della forma 



s* ipé + 2*(sp, + y 2 + </> 3 + SP*) + + + 1* + *4 + h) = 0 , 



(>) Vedasi la Memoria citata e L'altra (Mem. II) dello stesso titolo (Cambridge 

 Pini. Trans., t. XX). 



( 2 ) Vedansi le mie due Note citate. 



( 3 ) "Vedasi, ad es., Scliwarz : Ueber die geradlinigen Flàchen funften Qrades (Gior- 

 nale di Creile, t. 67, 1866). 



