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ove le xp , cp , X sono forme binarie in x , y , di grado eguale all'indice. Pro- 

 iettando da 0 la superficie sul piano xy , la curva di diramazione del piano 

 doppio ottenuto dovrebbe decomporsi in otto rette distinte passanti per l'ori- 

 gine, cioè, denotando con i3 8 una forma d'ottavo grado, dovrebbe aversi : 



{(pi + (p2 + ^3 + (p 4 ) 2 — */>3 (*i + * E + h + ^4 + *») = ®* ' 

 ove, si badi, t/> 3 4= 0 . Da questa relazione ricavasi: 



Spi = 0 , g>l — f 3 l x , 2c/> 2 cp 3 = ^ 3 / 2 , 2<p 3 cf 4 = xp 3 X 4 , (fi -f- 2$p s 4 = Vs ^3 , 



9? — Va ^5 = #s • 



Si badi che non è l 1 = 0 , altrimenti la retta OH non sarebbe semplice. 

 Dalle relazioni precedenti ricavasi (essendo (pi un quadrato) allora : 



ip 3 ==X i m\ , c/a = co, X x , 



ove è una forma, non nulla, di 1° grado, in x , y . Poi (p 3 = i co, X 2 , 

 5p 4 = w 1 2 1 2 4 . Orasi badi che non può essere- g> 4 divisibile per co,, altri- 

 menti Sì % conterrebbe il fattore multiplo co? . Allora sarà X t = w x t\ , ove £1 

 è una forma lineare, eventualmente nulla. La relazione (fl-\- 2c/ 2 c/> 4 = V'3^3 , 

 tenendo presente che <p\ è divisibile per coi 2 e xp 3 pure, porta la conseguenza 

 che 9)29)4 è divisibile per co? e, poiché il c/ t non contiene a fattore co, , 

 dev'essere y> % divisibile per cof . Dall'essere (f* = (o l X ì , ricavasi adunque 

 X ì = aoo l , ove a è una costante diversa da zero. La relazione 2y 3 c/ 4 = xp 3 X i , 

 cioè co? £, <p 4 = aco?A 4 , porta subito la conseguenza £j = èco, , con b costante. 

 Nella relazione: 



yl-j- 2(p 2 (fi = ìp 3 X 3 , 



non essendo <p 4 divisibile per co l , per la ragione già detta, sarebbero i ter- 

 mini (pi e V'3^3 divisibili per co?, ma il termine 2(p 2 g 4 solo per co?, e ciò 

 è assurdo. Dunque non esistono superficie di 5° ordine, non coni, dotate di 

 punti di tripli ed aventi l'irregolarità 3 ('). 



2. Vediamo ora quali superficie di 5° ordine con punti tripli abbiano 

 l'irregolarità 2. In tal caso, il fascio |C| è di genere 2 e le sezioni piane 

 per uno, 0 , dei punti tripli sono 0 di genere 3 0 di genere 2. 



Nel primo caso, le curve C del fascio devono necessariamente incontrare 

 i piani per 0 in 2 punti variabili, sicché i coni che le proiettano da 0 sono 

 quadrici ( 2 ). La curva di diramazione del piano doppio x , su cui la super- 

 ficie vien proiettata da 0 , sarebbe dunque spezzata in 6 conicbe d'uno stesso 

 fascio irreducibile, spoglie, al massimo, dell'unica retta doppia che un tal 

 fascio può possedere, e dovrebbe, nello stesso tempo, essere di 8° ordine, ciò 

 che è impossibile. 



(') Berry, loc. cit. (Mem. I). 



( 2 ) Le curve C sono 2 a 2 coniugate nell'involuzione determinata su F dalle rette 

 per 0 , quindi vengono unisecate dalle generatrici dei coni che le proiettano da 0 . 



