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Sia dunque 2 il genere delle sezioni piane. Le curve C del fascio secano 

 i piani per 0 in un sol punto variabile, quindi sono curve piane. Se sono 

 rette, la superficie è una rigata di 5° ordine di genere 2. Escluso questo 

 caso ovvio, resta da considerare il caso in cui le curve C siano coniche pas- 

 santi per 0 . I loro piani formano allora fascio attorno ad una retta OH 

 della superfìcie : ogni piano per OH seca sulla superficie una coppia di tali 

 coniche. Il cono tangente in 0 si spezza necessariamente in 3 piani o pas- 

 santi tutti per OH o tali che uno passi per OH e gli altri due coincidano. 

 In quest'ultimo caso, poiché la retta OH è una linea eccezionale della su- 

 perficie ed il fascio di coniche ha il genere 2 , le coniche C incontrano la 

 OH , oltre che in 0 , in un punto fisso H distinto da 0 : due coniche C com- 

 planari si toccano in 0 ed in H . Questi sono due punti tripli aventi nei loro 

 intorni una retta doppia infinitesima, Scelto un sistema di assi cartesiani, 

 prendendo OH come asse delle z , il punto 0 come punto all'infinito di questo 

 asse, il punto H come origine, il piano all' infinito come doppiamente tan- 

 gente in 0 , il piano s = 0 come doppiamente tangente in H , l'equazione 

 della superficie diviene : 



^^,4-2^3-1-^ = 0, 



ove xpi , ip 3 e i/> 5 sono forme binarie i % , y , dei gradi 1, 3, 5 e la forma 

 tyl — Vi è priva di fattori multipli. 



Questa superficie, che coincide colla XVII ottenuta dal sig. Berry, appar- 

 tiene, insieme alla superficie di 4° ordine con due tacnodi (avente l'irregola- 

 rità 1) alla classe di superficie d'ordine jt? -J- 3 , dotate d'un fascio iperellit- 

 tico di genere p di coniche, possedenti una retta (p — 1) — pia e su questa 

 due punti (p-{-l) — pli, nel cui intorno è una retta doppia infinitesima. 

 La loro equazione è appunto riducibile al tipo: 



z 2 W-i + 2s </W + VV-3 = 0 > 



ove le ip son forme binarie in # , y , di grado eguale all'indice. 



Kesta a considerare il caso in cui i piani tangenti in 0 alla superficie 

 passano tutti e tre per OH , cioè il caso in cui le coniche C toccano in 0 

 la retta OH . Prendendo al solito il sistema di assi (OH come asse delle z 

 ed 0 all'infinito), l'equazione della superficie sarà del tipo: 



z 2 ip 3 -f- 2*(y, + (f 2 -f. (p 3 + g> 4 ) -J- (Ai + X 2 -J- X 3 -f- Xi + A 5 ) = 0 , 



ove le tp,<p,X son forme binarie in x,y, di grado eguale all'indice e *p 3 =^0. 

 Denotando con Si & una forma di sesto grado priva di fattori multipli e 

 con (tì x una forma lineare (in x , y), dev'essere, per le ipotesi fatte 



(<fi + (pi + <Ps + (pi) 2 — (A, -f- X 2 -f- X 3 -f- X 4 + X s ) = £ì 6 



oppure 



{<fl + <f2 + 93 -f" <fif — H>Z {K + ^2 + X 3 + X 4 -j- X 5 ) = (ù\iì 6 , 



