﻿— 221 — 



ed, in ogni caso, non deve essere (f, = Ai = 0 , perchè OH è retta semplice 

 della superficie. 



Nel 1° caso, devono esser soddisfatte le relazioni: 



<f \ = 0 , (f\ = ip 3 h . 2(p 2 <p z = xpì A 2 , (fi -f- 2(f 2 (pi — ip 3 A 3 = ®e , 

 2(p 3 ^ = ip 3 Xi , (fl = ip 3 X 5 . 



Si badi che A, =j= 0 , ip 3 4= 0 . Denotando con £i una forma lineare, sarà 

 allora : ip 3 = ffAj , <p 2 = f x ^ , $p 3 = | £ t A 2 e <j> 4 risulterà divisibile per £i 

 (^j = A 5 ), donde iì 6 , cioè -f- 2y> 2 <p 4 — ^ 3 A 3 , conterrà, contro l'ipotesi, 

 il fattore multiplo . 



Nel 2° caso, si ha: 



(fi = 0 , 9'1 = tp 3 X l , 2(f 2 (f 3 — tp 3 X 2 , y>l 2(f 2 (fi = xp 3 X 3 , 

 2^3 <p* = ipi (fi — *p3 K = «1 i2 6 , 



e quindi 



y> 2 = ,if> 3 = ^u l , (f 3 = ^ . 



Dico che (fi contiene il fattore f , . Difatti, se non lo contenesse, dalla rela- 

 zione (fi -J- 2</> 2 (fi = ip 3 A 3 , verrebbe g> 2 divisibile per £? e quindi Ai = «£i 

 (a costante diversa da zero). Badando alla relazione 2(f 3 y 4 = xp 3 A 4 , cioè 

 fi A 2 <p 4 = A 4 , si ricava X 2 — b^t. Nella relazione (fi -\- 2(f 2 (fi = ip 3 X 3 

 sarebbero allora (fi e i/> 3 A 3 divisibili per £?, ma 2y 2 ^ 4 solo per e ciò 

 è assurdo. Dunque <p 4 contiene il fattore , ma allora Sì 6 col è divisibile per 

 £i e, poiché Sì 6 non contiene fattori multipli, £ 1 = <»i( 1 ). Poniamo adunque 

 (fi — oùì^, ove r) 3 è una forma cubica. L'equazione della superficie piglia 

 allora la forma : 



2 2 w\X x + (A, +|2 2 -)-^) + (A, + A 2 + A 3 + A 4 + A 5 ) = 0 , 



ove 



(A 1 4- x X 2 + — A, (X, + A 2 + A 3 '4- X 4 + A 5 ) = £ 6 . 

 Da questa ricavansi le relazioni: 



■j- A| -J~ 2A 1 ?y 3 = Ai A 3 , X 2 Tj 3 = Xi , 



donde A 2 è divisibile per X x . Porremo dunque X 2 = 2X X rj 1 , ove rj x è una 

 forma lineare. Quindi X 3 = X l r)\-\-2r^ 3 e X 4 ==2rj ì r] 3 . Insomma, l'equazione 

 della superficie è: 



»? Ai + 2^! (Ai + A, -j- >?s) + 

 + (A, 2A, 9?1 4- Ai ryf 4- 2i? 3 4- 2^, ^ 4- A 5 ) = 0 , 



ove rjl — Ai A 5 (cioè Sì 6 ) è privo di fattori multipli. 



(') Incorporiamo in i»i il fattore di proporzionalità. 



