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Ricordando allora alcune formule fondamentali della teoria delle fun- 

 zioni ellittiche, ed osservando pure che nella derivazione di U (2> rispetto a 

 x ,y . s non occorre tener conto della variazione subita da X , si vede subito 

 come le funzioni in esame, possano tutte rappresentarsi (in quanto funzioni 

 di X ossia di u), mediante le classiche trascendenti: 



p ,p r 



Tutto ciò è troppo noto ed evidente, perchè occorra soffermarvisi un solo 

 istante. 



È altresì evidente, come pure osservò il Morera, che, per essere U c2) 

 funzione armonica all'esterno di E (e sopra la superficie stessa), si potrà 

 dall' accennata espressione di V eliminare una delle tre derivate seconde: 

 D 2 U (2> VU (2) i*U (2) 

 Dx 2 ' Df ' Dz 2 ' 

 (Noi elimineremo la terza). 



È pure chiaro come, per eseguire materialmente la determinazione del- 

 l'espressione di V, basti considerare che, posto brevemente: 



->>2TT(2) ->2TT<2> 



u» = UL. , u< 2 > = ^- 



(con le altre coppie di relazioni analoghe che si ottengono, permutando cir- 

 colarmente fra di loro sc,y,g), sarà('): 



(II) V = K 0 U«» + K,U« + K 2 U< 2 > + K 3 Ug> + KJJ» + K 5 U< 2 > , 



dove i coefficienti costanti) K* (i = 0 , 1 , 2 ... 5) ( 2 ) si determineranno in 

 base alle condizioni: 



(III) V -J- Sì = costante, per tutti i punti della superficie E 

 (IIIO lim( ? V) = M. 



0=30 



(In queste relazioni designi M la massa racchiusa entro E e sia q il sim- 

 bolo generico del raggio vettore di un punto potenziato). 



Ora è agevole riconoscere che la (III) verrà a scindersi nelle quattro 

 relazioni seguenti (valide per tutti i punti della superficie E) : 



(6) K 0 U <0) + KiUi 2 ' -f K 2 U<, 2) 4- Sii = costante 



i K 3 U ( ^ — co 2 xy sen # cos & sen 2 xp = 0 



(6') < KJJi 2 ' + 0)1 ®z cos # sen xp cos xp = 0 



f KsUfl -\- <o 2 yz sen -5- sen xp cos xp = Q 



( J ) Ci riferiamo, ben s'intende, a punti potenziali esterni a E. 

 ( 2 ) Per semplicità poi, in tutte le formule che seguono, abbiamo considerata la co- 

 stante di attrazione, compresa nei coefficienti K t ... K 6 . 



