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irregolare. Ma su una cotal superficie un sistema oo 1 di curve razionali è 

 un sistema di curve di livello degl'integrali di Picard di l a specie posseduti 

 dalla superfìcie e quindi è un fascio, dunque le oo 1 coniche che una super- 

 ficie irrazionale può possedere formano necessariamente un fascio irrazionale, 

 il cui genere è uguale al genere della rigata cui al superficie è birazional- 

 mente identica, cioè all'irregolarità della superficie stessa. 



Limitandoci allo studio delle superficie irrazionali del quint'ordine con 

 infinite coniche, possiamo quindi asserire che i piani di queste coniche for- 

 mano fascio attorno ad una retta OH, semplice, della superficie e che ogni 

 piano per OH seca la superficie hmgo OH e due di queste coniche. La 

 retta OH, necessariamente eccezionale, non può essere incontrata in punti 

 mobili dalle coniche del fascio, appunto perchè questo è irrazionale. Sicché 

 sulla retta OH la superficie possiede due punti tripli distinti o infinita- 

 mente vicini. Se il genere del fascio è maggiore di uno, la superficie, avente 

 l'irregolarità maggiore di uno e punti tripli, è necessariamente una di quelle 

 che abbiamo trovato nella Nota precedente, cioè o una superficie con due punti 

 tripli distinti nell'intorno di ciascuno dei quali c'è una retta doppia infinite- 

 sima, o una superficie con un punto triplo nel cui intorno di 1° ordine esiste 

 una retta doppia infinitesima con un punto triplo oscnodale. 



2. Rimane a fare l'ipotesi che l'irregolarità della superficie sia 1, cioè 

 il fascio di coniche abbia il genere 1. Supponiamo anzitutto che i punti 

 (tripli) 0 , H , nei quali la retta OH è secata dalle coniche, del fascio, siano 

 distinti. Osserviamo che le sezioni piane per 0 , H , le quali sono incontrate 

 in un punto variabile dalle coniche del fascio devono essere del genere 1 e 

 che due coniche complanari del fascio, oltre a secarsi in 0 ed H , avranno 

 altri due punti comuni distinti o coincidenti o infinitamente vicini ad 0 e 

 ad H. Se essi sono a distanza finita da 0 e da H, la superficie possiede 

 una conica doppia che può eventualmente spezzarsi in due rette incidenti o 

 degenerare in una retta tacnodale: in ogni caso essa è una conica non pas- 

 sante pei punti tripli, ed il cui piano non contiene la retta OH. Che una 

 superficie siffatta esista (') è noto; è poi evidente che essa possiede un fascio 

 ellittico di coniche. 



Suppongasi ora che uno dei punti variabili d'intersezione delle coppie 

 generiche di coniche complanari sia infinitamente vicino ad 0, l'altro invece 

 a distanza finita da 0 e da H: allora la superficie possiede una conica 

 doppia passante per 0 ma non per H , e mentre H è un punto triplo ordi- 

 nario, l'intorno di 0 possiede una retta doppia infinitesima. La conica doppia 

 può degenerare in 2 rette incidenti, delle quali una sola passa per 0. 



Se le suddette coniche si toccano invece in 0 ed in H , siamo, in ge- 



(') Vedasi Cayley, On. the Deficiency of certain Surfaces (Math. Ann. Bd. Ili, 1871) 

 e Berry, On certain Quintic, ecc., Nota 2 a (Cambridge Phlil. Trans., voi. XX, pt. I). 



