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nerale, nel caso del fascio di genere 2 di coniche ; siamo, in particolare, 

 nel caso del fascio di genere 1 , solo allorquando la superfìcie possegga una 

 conica doppia passante per 0 , H (eventualmente degenere in 2 rette inci- 

 denti passanti rispettivamente per 0 , H). 



In tal caso è sempre da osservare che negl'intorni dei punti 0, H esiste 

 una retta doppia infinitesima. 



Se le coniche si osculano in 0 , la superficie possiede due rette doppie 

 uscenti da 0 , il quale punto è inoltre oscnodale. Quelle due rette possono, 

 in particolare, coincidere in un'unica retta tacnodale uscente dal punto 0. 



Con ciò abbiamo esaminato tutti i possibili casi che i punti 0 ed H 

 siano distinti. 



Supponiamo ora che i punti 0 ed H coincidano, cioè che le coniche 

 del fascio tocchino in 0 la retta OH . Il punto 0 è sempre un punto triplo 

 cui è indefinitamente vicino un punto triplo. 



Se le due coniche generiche sezioni della superficie con un piano per 

 OH hanno i rimanenti due punti comuni dististi da 0 , la superfìcie pos- 

 siede una conica doppia, eventualmente degenerata in due rette doppie in- 

 cidenti od in un retta tacnodale. In ogni caso, la conica non passa per 0. 



Supponiamo ora che le due suddette coniche si tocchino sempre in 0 

 con contatto tripunto e badiamo che le sezioni piane per 0 devono essere 

 di genere 1, e che la curva doppia è incontrata in un sol punto variabile 

 dai piani uscenti da 0 . Nell'intorno di 0 , abbiamo quindi necessariamente, 

 una retta doppia infinitesima dotata d'un punto triplo tacnodale H. La super- 

 fìcie F possiede allora, inoltre, una conica doppia passante per 0 (ma 

 sghemba con OH), la quale può anche, eventualmente, spezzarsi in due rette 

 doppie incidenti, una delle quali passi per 0. 



Finalmente, se le due coniche sezioni della superfìcie con un piano 

 generico passante per OH non si secano fuori di 0 (ed il fascio di coniche 

 ha il genere 1) la superficie possiede in 0 un punto triplo nel cui intorno 

 è una retta doppia infinitesima con un punto triplo oscnodale e, fra le coniche 

 del fascio, ce n'è una, eventualmente degenere, doppia per la superfìcie. 



All'infuori de 'le superficie che abbiamo passato in rassegna, e che 

 erano tutte note ('), non esistono superficie irrazionali di 5° ordine con 

 infinite coniche. 



È inoltre da ( sservare che le superfìcie trovate nel n. 2 del presente 

 scritto, sono le unirhe superficie irregolari di 5° ordine dotate di un punto 

 triplo 0, tale che le sezioni per 0 siano ellittiche. 



(') Vedasi Berry, On. certain Quintic Surfaces which admit of Integrals of the 

 First Kind of Total Dijferentials (Cambridge Philosophical Transactions, t. XIV e t. XX). 



