﻿— eoo — 



Matematica. — Su un lemma del Poincaré. Nota del dott. Eu- 

 genio Elia Levi, presentata dal Socio Luigi Bianchi. 



1. Nella Nota precedente ( ] ) abbiamo stabilito il lemma, che il Poin- 

 caré, e dopo di lui, lo Steckloff, lo Zaremba ed altri posero a fondamento 

 delle loro ricerche sul metodo di Neumann per la risoluzione del problema 

 di Dirichlet, per tutti quei campi D che si possono spezzare in un numero 

 finito h di campi Di, convessi ciascuno rispetto ad un suo punto interno Oj, 

 per modo che col crescere indefinito di h — e col diminuire indefinito delle 



dimensioni dei campi Di — i numeri — ^ , — — (dove k ed L, rappresentano 



rispettivamente la distanza minima e massima di Oj dal contorno di D,) 

 divengono grandi a piacere. Notiamo subito che non per ogni campo tale 

 decomposizione sarà possibile : se, per es., il contorno del campo ha una 

 cuspide di seconda specie colla punta volta verso l'esterno del campo, esso 

 non si potrà spezzare in un numero finito di campi convessi ciascuno rispetto 

 ad un suo punto interno. Tuttavia i campi per cui tale decomposizione può 

 farsi sono assai generali: essi comprendono ad esempio, come ora mi pro- 

 pongo di mostrare, i campi cui fu applicato il lemma del Poincaré dagli 

 autori citati, onde viene rimossa l'obbiezione fatta dal prof. Lauricella a 

 queste ricerche. Le condizioni ( 2 ) cui tali campi soddisfano sono le seguenti : 



l a in ogni 'punto del contorno esiste una tangente determinata; 



2 a l'angolo acuto 0 delle normali (o delle tangenti) in due punti 

 P e P' del contorno è minore di ar , dove a è una costante, ed r è la 

 distanza dei punti P e P' ; 



3 a esiste un numero d tale che, descritto un cerchio y col centro 

 in un punto arbitrario P del contorno e raggio d, ogni normale al con- 

 torno in un punto interno al cerchio incontra il contorno internamente al 

 cerchio al più una volta. 



(') Questi Kendiconti, pag. 83. 



( 2 ) Cfr. ad es. Zaremba, Sur Vintégration de Véquation Ju-\- Su = 0 , Journal de 

 Mathématiques. Ser. 5, tom. Vili, pag. 59. Lo studio è ivi condotto per i eampi a tre 

 dimensioni: per maggiore semplicità nella presente Nota come nella precedente ci siamo 

 limitati a campi dello spazio a due dimensioni : però la cosa non importa differenze essen- 

 ziali. Osserviamo di più che veramente la 3 a condizione è alquanto mutata, in quanto 

 che lo Zaremba chiede che, entro il cerchio di raggio d , ogni parallela alla normale in P 

 incontri la curva in un solo punto : ma è ben chiaro che, quando ciò avvenga, sosti- 

 tuendo al più ^ a d è soddisfatta la condizione del testo, onde risulta che questa non è 

 «ertamente più restrittiva di quella. 



