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di noti che, se la condizione 3 a è soddisfatta per un valore di d, è sod- 

 disfatta per ogni valore minore di d . 



Si deduce che per detti contorni si possono ritenere soddisfatte alcune 

 altre condizioni : 



4 a . Siano Si , S 2 , S 3 ,— i punti in cui il cerchio y di centro P e rag- 

 gio d incontra il contorno: Si S 2 il segmento del contorno interno al cer- 

 chio e contenente P. Siano V x e P 2 due punti di Si S 2 : l'angolo della 

 corda Pi P 2 colla tangente in un punto qualunque di Si S 2 è <C 2ad. Infatti 

 esiste fra P, e P 2 almeno un punto P 3 la cui tangente è parallela alla 

 corda Pi P 2 : P 3 si trova entro all'arco Si S 2 , quindi entro al cerchio, e dista 

 perciò da un punto qualunque Q di Si S 2 meno di 2d. La condizione 2 a ci 

 dice dunque che l'angolo della tangente in Q colla tangente in P 3 , o (ciò 

 che è lo stesso) colla corda Pi P 2 è <^2ad. 



5 a . Si deduce dalla 4 a condizione: l'angolo della corda Pi P 2 e della 



TX TX 



normale in un punto dell'arco Si S 2 è compreso fra — — 2ad e —-\-2ad\ 

 l' angolo di una tangente in un punto dell'arco Si S 2 colla normale in un 

 qualunque altro punto dell'arco stesso è compreso fra — — 2ad e — -{-2acl. 



6 a . Col centro in P si descriva un cerchio y x di raggio ^; e sia Pj P 2 



il tratto del contorno intorno a questo cerchio e contenente P. Le nor- 

 mali a Pi P 2 incontrino in M, M 2 il cerchio y: si può scegliere d abba- 

 stanza piccolo perchè l'area compresa fra l'arco PiP 2 , le normali Pi Mi 

 e P 2 M 2 e l'arco Mi M 2 di y sia interna al campo. 



Infatti le normali nei punti dell'arco P, P 2 incontrano y nei punti di 

 un arco continuo a di cui Mi ed M 2 sono punti interni od estremi. Io dico 

 che a contiene il minore degli archi Mi M 2 . Ed invero preso un qualunque 

 punto P 3 dell'arco Pi P 2 esso dista da Pi di meno di d, e l'angolo delle 

 normali in P, e in P 3 è per la condizione 2 a <^ad\ quindi il punto M 3 

 in cui la normale in P 3 incontra y dista da M, di un arco minore di 



TX TX 



— -\-2ad ('). Se quindi d è piccolo per modo che — -\- 2ad <^jt , non 



d O 



potrà mai M 3 coincidere col punto diametralmente opposto a M, e quindi 

 non potrà mai a contenere completamente il massimo degli archi Mi M 2 . 

 Ne segue che per ogni punto del minore degli archi Mi M 2 passa" una nor- 

 male al contorno in un punto dell'arco Pi P 2 ; per la condizione 3 a segue 

 che tale arco non ha nessun punto comune col contorno. Siccome ancora per 

 la condizione 3 a si ha lo stesso per le normali Pi M, , P 2 M 2 , si deduce 



(') Cioè somma di un arco (<^2ad) contenuto in un angolo < ad di vertice Pi e 



