﻿che l'area compresa fra l'arco Pi P 2 , le normali Pi M t , P 2 M 2 ed il cerchio y 

 è tutta interna al campo. 



2. Prima di accingerci alla dimostrazione promessa facciamo due sem- 

 plici osservazioni. 



Anzitutto si noti che un campo limitato da segmenti di retta si può 

 sempre spezzare nella somma di un numero finito di triangoli, e quindi di 

 campi convessi. 



In secondo luogo si consideri un campo convesso il cui contorno sia 

 formato di una parte C t tale, che su ogni retta per un punto P di Ci gli 

 eventuali punti interni siano tutti da una parte di P, e di una parte C 2 

 qualunque purché avente in ogni punto tangente determinata e priva di 

 cuspidi. Il campo è convesso rispetto a tutti quei punti, se esistono, per 

 cui non passa nessuna tangente a C 2 . Infatti sia 0 un punto rispetto a cui 

 il campo non è convesso: esisterà un raggio s per 0 che incontra il con- 

 torno in più di un punto e quindi almeno in tre punti: supponiamo che s 

 incontri ordinatamente a partire da 0 il contorno nei punti AiA 2 A 3 ... 

 Il tratto Aj A 2 sarà esterno al campo, i tratti OAi , A 2 A 3 interni. A! , A 2 

 sono su C 2 , poiché sia per A x che per A 2 passa la retta OAj A 2 su cui 

 esistono punti interni al campo sia da una parte che dall'altra di Ai ed A 2 . 

 Spostiamo s attorno ad 0 con continuità: in una conveniente posizione di 

 s , Ai ed A 2 coincidono : altrimenti la regione luogo dei punti di A 2 A 3 

 sarebbe staccata dalla regione luogo dei punti di OA x e quindi il campo 

 non sarebbe connesso. Siccome Ai ed A 2 sono sempre su C 2 , e C 2 ha in ogni 

 punto una tangente determinata, in tale posizione s tocca C 2 . Quindi è di- 

 mostrato l'assunto. 



3. Si consideri un campo soddisfacente le condizioni del n. 1, e ser- 

 bando le notazioni del n. 1 condizione 6 a , si costruisca il quadrangolo 

 Mi P, P 2 M 2 che ha i lati M, Pi , P 2 M 2 , M, M 2 rettilinei e come lato P, P, 

 l'arco Px P 2 del contorno. Supponiamo d piccolo per modo che cosarf^>0,9, 



Tt 



sena^ <^ 0,2 ,tgad<^ 0,2 : basterà perciò che sia ad <[ — . Al quadrangolo 



P.?Mi M 2 P 2 si può applicare la seconda osservazione del n. 2, considerando 

 come parte d l' insieme dei tre lati rettilinei, come parte C 2 l'arco Pi P 2 : 

 per riconoscere la possibilità di ciò, basterà osservare che il quadrangolo 

 sta tutto da una parte di ognuno dei suoi lati rettilinei. Infatti il lato PiP 2 

 sta tutto da una parte di M t Pi e di P 2 M 2 in virtù della condizione 3 a 

 unita coll'osservazione che Pi P 2 è tutto intorno al cerchio y x di centro P 



e raggio ^ . Dal ragionamento usato nel dimostrare che è soddisfatta la con- 

 dizione 6 a segue inoltre che il segmento Mi M 2 sottende del cerchio / un arco 

 < ™ + 2ad < ^ + 7T < ; quindi Mj M 2 dista da P più di -. Esso 



