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è dunque tutto fuori del cerchio y x e quindi non ha punti comuni coll'arco 

 Pi P 2 . Concludiamo che Pi P 2 sta tutto da una parte di ciascuno dei lati ret- 

 tilinei del quadrangolo. Basta quindi dimostrare che i lati P, Mi e P 2 M, 

 non si tagliano mutuamente e che gli angoli P : M 2 e P 2 M 2 M t del qua- 

 drangolo non sono ^> n . Quest' ultimo fatto risulta immediatamente dall'os- 

 servazione che questi angoli sono angoli di due corde del cerchio y. Quanto 

 all'altro esso sarà evidente quando si mostri che il punto A in cui le rette 

 Pi Mi e P 2 M 2 si incontrano è fuori di y. Infatti si conducano da P le 

 normali PT, e PT 2 alle rette Pi M, , P 2 M s : sarà PT, == PP 2 sen PPi T, , ma 



PPi = ^ , PPi Ti è, per la condizione 5 a , compresa fra ^ -{- ad e ^ — ad 



u u a 



9 9 

 quindi senPP^i > cos<2d>0,9 e PT^ — d. Analogamente PT 2 > — d. 



PT 



Ora il punto A è fuori o dentro al cerchio y a seconda che è mag- 

 giore o minore di senPATi; ma sen PAT! < sen P 2 APi < sen ad <C \ <C 



o 



9 PT 



<C ^7 - <C ~~r~ quindi A è fuori di y. Risulta quindi, come si era detto, che 



il quadrangolo P! M! M 2 P 2 sta tutto da una parte di ciascuno dei suoi tre 

 lati rettilinei. E dalla precedente discussione risulta inoltre che esso è con- 

 nesso, e per la condizione 6 a del n. 1 tutto interno al campo. 



4. Prendiamo ora sulla normale in P al contorno un punto 0 interno 



al campo tale che PO = ^oL È facile vedere che PiMiM 2 P 2 è convesso 



rispetto ad 0 . Per la seconda osservazione del numero 2, basta mostrare 

 che nessuna tangente a Pi P 2 passa per 0 . Ora, preso un punto E di Pi P 2 

 la tangente in esso incontri la normale in P in F, dal triangolo PFE si de- 

 duce PF = PE S6D ^ . Ma PE<f, e, per la condizione 4 a PEF < ad , 

 sen EFP ^2 r 



sen PEF < sen ad < 0,2; EFP è l'angolo della normale in P e della tan- 



TX TC 



gente in E quindi è compreso (condizione 5 a ) fra — — ad e — -j- ad perciò 



2 u 



sen EFP > sen ^~ — ad^ == cos ad > 0,9 . Sarà dunque PF-<|^ = ^^- 



PO = 2 d è quindi sempre maggiore di PF e cioè per 0 non passa nessuna 

 tangente a Pi P 2 . 



3/ 1 



5. Troviamo ora dei limiti inferiori per i numeri — , , per il 



2L loL 



campo interno al quadrangolo P,MiM 2 P 2 . Anzituttto poiché PiMiM 2 P 4 

 è tutto contenuto nel cerchio di centro P e raggio d sarà 



L<2d. 



