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Per avere un limite inferiore della minima distanza l di 0 dal contorno 

 di P x M, M 2 P 2 , basta calcolare le distanze ó l , ó 2 , ó 3 , J 4 di 0 rispettivamente 

 dai lati P, P 2 , Pi M, , P 2 M 2 , Mi M 2 . La distanza ó l di 0 dai punti E di P, P 2 

 è maggiore della distanza di 0 dalle tangenti all'arco PiP 2 nei punti stessi, 



quindi > OF sen OPE . Ma OFE è compreso fra — -f- ad e ^ — ad 



Li Li 



quindi sen OFE > 0 , 9 ; di più OF = OP — Pf > (- — |j d = ^ d ; 

 quindi 



A \ 5 9 / 1 1 



ó 



6 IO 



Se diciamo e 2 ,e 3 , e 4 le distanze di P dai lati P x M, , P 2 M» , Mi M 2 , 



sarà evidentemente ^ ]> e% — PO = e, — - d : ci basterà quindi calcolare 



9 



e% e 3 e 4 . Sarà (n. 3) <? 2 — PTi ^> — - d . Si deduce 



Là yj * 



'•>(s>-ì)'H* : 



Analogamente calcolando la lunghezza e 3 della normale PT 2 condotta 

 da P su P 2 M 8 , si ha 



ó 3 >\d. 

 o 



d 



Rispetto ad e 4 si è già ottenunto al n. 3 e± >■ - : si ha quindi 

 ^>(ì — l)d>\d. 



Confrontando i valori di <Jj S 2 à 3 J 4 si ottiene l Ì> - d . Il minore dei 



o 



due numeri ^j-r e — è quindi maggiore di —777 . 



Possiamo quindi conchiudere che il campo Pi Mi M 2 P 2 soddisfa alle 

 condizioni imposte ai campi parziali D; in cui si deve dividere il campo D 

 per applicarvi il teorema del Poincaré, in quanto che esso è convesso rispetto 



3/ 1 



ad un suo punto interno, ed i numeri — jrr e . 2 crescono indefinitamente 



2 L 1 o Li 



al diminuire delle dimensioni del campo. 



Ora è ben chiaro che preso un campo soddisfacente alle condizioni del 

 n. 1, si può procedere alla costruzione di simili quadrangoli per modo che ogni 

 parte del contorno appartenga ad uno e ad uno solo di essi come lato cur- 

 vilineo Pi P, . Siccome il contorno ha lunghezza finita e la lunghezza di cia- 

 scuno di questi archi Pi P 2 è sempre ^>d, otterremo un numero finito di 



