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quadrangoli i quali mai ricopriranno due volte un pezzo del campo. Talché il 

 campo risulterà composto di due parti: l'una è la somma di detti quadran- 

 goli e l'altra consta di un poligono a lati rettilinei (limitato dai segmenti 

 analoghi ad Mj M 2 ) : l'ima e l'altra di queste parti si possono spezzare in 

 parti soddisfacenti alle condizioni imposte ai campi parziali Dj ; la prima 

 per quanto è detto in questo numero, la seconda per la prima osservazione 

 del n. 2. Il campo totale risulterà quindi diviso nel modo richiesto. 



Impiccolendo d — e con ciò aumentando il numero dei campi quadran- 

 golari parziali — e suddividendo, ove occorra, i triangoli in cui si divide il 



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campo poligonale, si potrà fare in modo che i numeri — : e twtì per 



questi campi crescano ad arbitrio. 



Risulta quindi che per i campi soddisfacenti alle condizioni del n. 1 si 

 può, come si è detto, applicare il teorema del Poincaré. 



Però non sarebbe difficile vedere che non impedirebbe la decomposizione 

 in. campi parziali che godano delle proprietà accennate nel n. 1, l'esistenza 

 di un numero finito di punti angolari 0 di cuspidi di prima specie od anche 

 di cuspidi di seconda specie purché colla punta volta verso l' interno del 

 campo: e che anche a questi campi più generali si può, ove occorra, appli- 

 care il lemma del Poincaré. 



Matematica. — Ancora alcune osservazioni sulle funzioni 

 derivale. Nota di Beppo Levi, presentata dal Socio 0. Segre. 



1. In tre Note precedenti, pubblicate in questi Rendiconti ('), col titolo: 



Ricerche sulle funzioni derivate, ho approfondito assai più che non fosse 

 stato fatto fin qui lo studio delle dipendenze fra le funzioni continue e le 

 loro funzioni derivate — massimamente per il caso in cui taluna di queste 

 funzioni derivate possa assumere valori infiniti od illimitatamente grandi. 

 Ed uno dei principali risultati dell' ultima delle Note citate ( 2 ) si può rias- 

 sumere brevemente nell'enunciato: 



Condizione necessaria e sufficiente per che J nei riguardi di una fun- 

 zione f(cc) continua in un dato intervallo a ... b e di una qualunque delle 

 sue funzioni derivate u(x), valga il teorema fondamentale del calcolo inte- 

 grale è che l'aggregato dei valori della f(x) in un qualunque aggregato 

 di punti di misura nulla abbia misura nulla, abbia inoltre misura nulla 

 l'aggregato dei punti in cui qualcuna delle sue funzioni derivate diviene 

 infinita, ed esista inoltre l'integrale nell'intervallo a ... b della funzione 

 derivata. 



(') Voi. XV, 1° semestre 1906, pp. 433, 551, 674. 

 ( 2 ) N. 2, pag. 679. 



