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L'integrale s'intende qui nel senso del Lebesgue ('). 



Nei numeri seguenti di quella Nota si son dedotti notevoli corollari 

 di questa proposizione: ma fin d'allora si è pure annunziato che, nei casi 

 particolari considerati, si poteva rendere assai più esplicita la proposizione 

 in discorso. 



Sopra tali osservazioni intendo ritornare in questa Nota. 

 2. Alla proposizione del n. 3 della Nota citata (pag. 680) si può sosti- 

 tuire quest'altra : 



Se una u(x) delle funzioni derivate della funzione continua f{x) è 

 finita in tutto l'intervallo a...b, o, più generalmente, 



se l'aggregato dei punti in cui u(x) è infinita e riducibile, 



la condizione necessaria e sufficiente perchè esistano gli integrali 



f u(x)dx , P \u(x)\ dx 



J a J a 



è che la funzione abbia in a ... b variazione limitata. La funzione f(x) 

 differisce allora al più per una costante dall'integrale indefinito (del Le- 

 besgue) della detta derivata ( 2 ). 



A facilitare l' intelligenza della dimostrazione che segue, occorre richia- 

 mare le proprietà fondamentali dell'integrale d'una funzione non limitata. 

 Mediante i numeri k(i = — co ,...,-)- oo , lim k = -j- co , lim U — — co , 



Z - — +00 i— — oo 



— h = e) si divida l'intervallo di variabilità della u(x). in intervalli 

 parziali di ampiezza e, e si chiami e% l'aggregato degli x di a... b per cui 

 Im > u(x) .> k. Si ponga 



S, = V- k m{e .) (3) . 



— 00 



sarà, per definizione ( 4 ), 



u(x) dx = lim S s . 



X 



£=0 



Se la S 5 non è convergente, l' integrale non esiste : gli integrali di u(x) 

 e di \u(x)\ esistono e non esistono simultaneamente. Osservando che 



+ oo n o 



J_ i l i m{e i )= lim T_ i l i m(e i ) ì 



— 00 7il=-f-00 n ^ 



nz=—co 



(!) Lebesgue, Lecons sur l 'integration etc, Paris, G-authier-Villars, 1904, pag. 112 

 e seg. ; Intégrale, longueur, aire, Ann. di mat. (3) 7 (Thèse). 



( 2 ) La proposizione in questa forma fu già enunciata dal Lebesgue (Lecons, pp. 122- 

 123) Cfr. al riguardo la mia prima Nota sopra citata (1° sem., pag. 434) e la Nota del 

 Lebesgue, Sur les fonctions dérivées (Questi Rendiconti, voi. XV, 2° sem., pag. 1J e i 

 numeri 8 e 9 della presente Nota. 



( 3 ) m{eì) rappresentando la misura dell'aggregato et, Cfr. per questi ed altri simboli 

 la mia prima Nota sopra citata e le Lecons del Lebesgue. 



( 4 ) Lebesgue, Lecons, pag. 115. 



Rendiconti. 1906, Voi. XV, 2° Sem. 46 



