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si può dare alla precedente definizione la forma, che ci sarà più utile in 

 seguito ('), 



u{x) dx = lim SU, «, , SU, n , = y\ k m(e t ) ; 



J a £=0 — 



n,=-t-x , n 2 =— x 2 



e se, come nella presente applicazione, l'aggregato dei punti in cui \u{x)\ = <x> 

 ha misura nulla, si può ancora dire che 



f u(x) dx = lim S=x , Sa = Y ; k mUi) 



Ja e=0 ti) 



X=QO 



dove V ; rappresenta la somma che si ottiene sostituendo nella V. rispet- 

 (X) <— 1 



tivamente -\- Xmfa) e — lm(ei) ai te rmini per cui li ^> X ovvero h<C — X- 

 3. Supporremo dapprima, per semplicità, che la funzione u(x) sia ovunque 



finita nell'intervallo a...b; e, per fissare le idee, supporremo che la u(x) 



sia precisamente la derivata superiore a destra. 



Fissata Ja successione di numeri /; ed un valore arbitrario di l, si 



determini una serie di numeri positivi ^ tali che 



-t-_co 4- oc 



Zi 1^1 ^ — £ ' Zi ? ^ — 



— oc _ co " 



e si racchiuda ciascun aggregato et in un aggregato di segmenti A ( - tale che 



0 < m(Aj) — m\(ei) = . 



L'aggregato A,- essendo numerabile, si chiami A ip uno qualunque dei 

 segmenti che lo compongono (quello che occupa il posto p nella supposta 

 numerazione). 



Ogni punto x di a ... b appartenendo allora ad un determinato aggre- 

 gato e a un determinato segmento A ip ( 2 ), si consideri il segmento x ...x-^h 

 massimo di lunghezza <. e e tale che anche x -f- h appartenga ad A ip e che 



li — <? <. r \_f{x) , x , x -J- h~\ .£1 -J- £ 



e si immagini ricoperto F intervallo a ... è mediante una successione di questi 

 segmenti x...x-\-h tale che il primo estremo del primo segmento sia a, 

 e di ciascuno degli altri segmenti sia primo estremo il secondo estremo del 

 segmento che immediatamente lo precede (se tale immediatamente precedente 



(') Cfr. pure la mia Nota: Sopra Vintegrazione delle serie (Eend. del E. Ist. Lomb 

 di se. e lett. (2) 39, 1906, pag. 776. 



( 2 ) Ogni punto x può appartenere a più segmenti Afe , corrispondenti a valori dif- 

 ferenti di i; ma esso appartiene ad un solo aggregato et, e, per dato i, ad un solo seg 

 mento A,-„ . 



