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4. Supposto che la funzione f(x) abbia in a ... b variazione totale limi- 

 tata, si indichi con V tal variazione; sarà, per definizione, 



(1) v > y; h — (b - a) e > \u\ h — {b — a)s o. 



a.) 



D'altra parte, poiché la somma delle lunghezze dei segmenti a ... Ci- 

 che coi segmenti H' completano a ... b è 



(2) YMh > Ti\k\h — X.2j = ^i\k\h — 2*. 

 1x) (w K a) 



Si chiami ancora B* l'aggregato dei segmenti H il cui primo estremo 

 appartiene ad ; si ha ( 2 ) 



(3) X'M^Z'WflK 3 *) 



(X) (X) 



0 < w(Ai) — «(B,) < V [w(Ai) — w(B,-)] = 7 m(Ai) — ^_ w(B f ) 

 y w(Bi) = è — a = y 



e quindi 



w(Ai) — w(B() < X [m(Ai) — w(fli)] = X i?s <- * 2 bi- 

 onde 



(4) 0 < ^ w(A t -) — y |/i|m(B0< 



(X) (X) 



< V \U\lmiAt) - m(B,-)] < e* ± J \h\ = e (»). 

 7x7 * «V 



Se in fine si tien presente che 



^_\l i \m{e l ) < y |fc|m(A<) 



(X) (X) 



si ha dalle (4), (3), (2), (1) 

 y |&| m{e t ) <J\h\ m(Bi) + e < V' A + 3* < V + (è - a + 3) * . 



(A) 'X) <X> 



(») Qui e nei casi analoghi le somme si intendono estese a tutti i segmenti x ...x-\- h 

 che costituiscono l'aggregato H' (o l'aggregato H ove manchi l'apice alla Z) ed il fat- 

 tore h è. di conseguenza, l'ampiezza del segmento cui il termine si riferisce, mentre i è 

 l'indice dell'aggregato e» cui appartiene il suo primo estremo x. 



(2) Cfr. la mia prima Nota citata, 1° sem., pag. 436. 



( 3 ) Per giustificare questo passaggio occorre tener presente che si è supposto 

 — li = e. Lo stesso deve dirsi pel passaggio analogo della prima Nota citata, ove, 



quantunque si sia detto solo che — ci si è valsi implicitamente della possibi- 



lità di fissare tal differenza precisamente = e . 



