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Si faccia ora tendere f a 0 s 2 ad co e si tengano presenti le osservazioni 

 preliminari del n. 2: si concluderà che se la funzione f{x) ha variazione 

 cotale V, limitata,, la funzione u(x) è integrabile e 



(5) f)a(x)\dx < V. 



J a 



5. La somma dei valori assoluti degli incrementi di f(x) negli inter- 

 valli d ... C,- è 



<0 + | + | + - = 2<§ 



si ha quindi 



(6) y ; k h — (b — a)€ — 2d<: f(b) — /■(«) < y ; u h + (b — a) « + 20 . 



Si può inoltre supporre scelto £ abbastanza piccolo perchè la somma 

 dei valori assoluti degli incrementi di f(x) in ogni catena di segmenti di 

 lunghezza <- e differisca dalla variazione totale V di f(x) per meno di 0, 

 ovvero, qualora f(x) sia a variazione illimitata, superi un numero positivo N 

 arbitrariamente assegnato. Si ha allora 



(7) V — 6 < y' \k\ h + (ò — a) s -j- 26 se f{x) ha variazione totale V 



(7') N <i y ^ | li | h -f- (b — a) s + 261 se /'(^) ha variazione totale illimitata. 



Si chiamino n x e « 2 i due valori estremi di i cui corrispondono termini 

 delle y': si ha 



w 3 n 9 n.> n 2 



y .> y \u\ m(ki) — y\ii\ ^ > £ |z 4 | w(a,-) — e 



w, n, n, «, 



y |/ì|w(Aì) > y\ii\k > y'i^iA. 



Da queste disuguaglianze e dalle (7) e (7') risulta rispettivamente nei due 

 casi 



(8) Z>|*»(*)>-V — 30 — {b — a-\- l)s 



(8') «(«,)> N — 26 — (b— #-J-l)e. 



Facendo tendere £ e 6 a 0, si conclude (n. 2) che /(.r) è a variazione 

 illimitata le funzioni \u(x)\ e u(x) non sono integrabili^ se invece f(x) 

 ha variazione totale V, la (8) colla (5) dà precisamente 



(9) f \u{x)\ dx = Y. 



