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sioni. Si avrà allora per una parte che la somma degli incrementi e la 

 somma delle variazioni totali di f{x) in questi segmenti complementari dif- 

 feriscono per meno di co dall' incremento e dalla variazione totale di f{x) 

 in a...b; per altra parte che le ^_ikm(ei) , ^j\li\m(ei) estese all'inter- 



(X) (X) 



vallo a ... b differiscono dalle somme medesime estese a questi soli segmenti 

 per meno di Xx. L'una e l'altra differenza potendosi rendere arbitrariamente 

 piccola, si avrà al limite la proposizione in questione. 



8. Confrontando questa proposizione con quella del n. 2 della mia prima 

 Nota citata si vede come quella sia compresa in questa come caso partico- 

 lare; ma quel che più importa di rilevare è che, malgrado la maggior lun- 

 ghezza apparente della presente dimostrazione, essa deve considerarsi come 

 più semplice di quella. Inquantochè non si può nascondere che l'operazione 

 di somma estesa ad una catena transfinita (numerabile, però) di elementi 

 che là fu adoperata seguendo l'esempio del sig. Lebesgue, comunque elegante 

 e suggestiva, è pur sempre operazione delicatissima, onde l'averla evitata 

 mi pare un progresso metodologico. 



Ed appunto al diverso apprezzamento intorno alle attenzioni che occor- 

 rono per applicar con rigore simile ragionamento si riduce forse una oppo- 

 sizione di giudizi che riguardo alla proposizione in discorso s'è palesata fra 

 me ed il sig. Lebesgue. Onde non parrà inopportuno alla precisa analisi di 

 questi concetti fondamentali se — lungi da me ogni intenzione polemica — 

 appoggerò qui, con convenienti argomenti, le mie vedute ('). 



Occorre ch'io mi riferisca alia pag. 6 dell'ultima Nota del Lebesgue 

 ora ricordata. Egli dice: 



« Pour le cas general » (è il caso qui considerato in cui la funzione 

 derivata sia finita, ma non limitata) « portons notre attention sur les K 



( J ) Mi si permetta di ripetere qui che, qualche obbiezione ch'io possa aver mossa 

 e possa muovere ancora a qualche particolar ragionamento del sig. Lebesgue, non ha 

 diminuito mai l'alta stima e l'interesse con cui io riguardo l'estensione ch'egli ha por- 

 tato al concetto d'integrale e le importanti applicazioni che ne ha saputo trarre. Nella 

 mia prima Nota più volta citata esponevo qualche dubbio sulle dimostrazioni date dal 

 Lebesgue di due proposizioni: la più importante, quella di cui si tratta qui; l'altra che 

 afferma che i numeri derivati di una funzione continua costituiscono una funzione di 

 2 a classe del Baire. Il sig. Lebesgue rispose alle mie osservazioni colla Nota già ricor- 

 data Sur les fonctions dérivées (Questi Rendiconti, voi. XV, 2° sem., pag. 3): dopo le spie- 

 gazioni del sig. Lebesgue debbo riconoscere che, con poche parole, riusciva dimostrata 

 completamente, dal suo punto di vista, questa seconda proposizione. Nell'occasione rile- 

 verò però che, la dimostrazione da me proposta porta ad un risultato assai più generale: 

 Se g(x , h) è una funzione di x e di h, continua rispetto ad x per ogni valore di h ={= 0, 

 gli inviluppi di indeterminazione di g(x , h) per h — 0 (cioè le funzioni costituite dai 

 limiti superiori o dai limiti inferiori, dei valori di g{x , h) per ogni x fisso e per h ten- 

 dente a 0) sono funzioni della S a classe del Baire. Riguardo all'altra proposizione il Le- 

 besgue medesimo riconosce in parte l'esattezza delle mie osservazioni: in parte egli le 

 rifiuta, ma nelle sue giustificazioni io non posso convenire. 



