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« premiors termes de la suite e„ t e», ... i 1 ): Y' designerà une somme étendue 

 « aux quantités correspondantes ; on a 



(I) Y \l n \ m{k n ) — y\l n \ m(B n ) < y' s n \l„\ 



« et l'on peut supposer cette dernière quantité plus petite que £, alors on a 



(II) y \l n \ m(e„) — e < m ( A ") — f — Jl 1^1 W ( B ») 



<l y | /„ | m (b„) < y | | m (A„) <. y | i n | »» («») + f ; 



« et puisque K et e sont quelconques, l'énoncé susmentionné est établi dans 

 « tous les cas ». 



La conclusione mi pare affrettata: si faccia pur crescere indefinitamente 

 il K e tendere a 01' e. La disuguaglianza (II) dice soltanto che: se col ten- 

 dere di K ad oo e di e a 0 una delle somme ^_\l n \m{B n ) , y_\l n \m(k n ) ( 2 ) 

 non cresce illimitatamente, la funzione \u{x)\ è integrabile e entrambe 

 quelle somme hanno un limite unico e determinalo: l'integrale di \u(%)\. 

 Non è questa la proposizione cui il Lebesgue voleva giungere: la funzione 

 f{x) non ha in essa veruna parte. Occorrerebbe perciò che si potesse affer- 

 mare in quali condizioni rispetto al comportamento della f{x) si verifichi 

 l'esistenza di tal limite; e questo pare intenda di dirci il Lebesgue alcune 

 linee sopra il passo citato : « Cette valeur approchée » della variazione to- 

 tale di f(x) « est comprise entre ^ et v x -\- *(b — a) où v l = y^\l p \m(B p ) » . 

 È esatta questa affermazione? Si confronti colla definizione della variazione 

 totale d'una funzione data dal Lebesgue medesimo ( 3 ): 



« Partageons a ... b à Faide des points a 0 = a <. <. a 2 ... <. a„ = b; 

 « la somme 



v = \f{ ai ) - f(a 0 )\ + \f(a 2 ) - A«,)H h - /K-OI 



a est ce qu'on appelle la variation de f(x) pour le sjstème de points 



(') Il significato dei simboli usati dal Lebesgue è molto affine a quello dei simboli 



analoghi nelle pagine precedenti. Cionondimeno lo indicherò qui brevemente: e„j sono 



gli aggregati e; del testo, ordinati in un ordine determinato, che potrebbe essere per es. 



l'ordine crescente degli \i\. a nj essendo allora dei numeri per la cui esatta definizione 



rimando alla Nota o alle Lerons del Lebesgue, ma che il lettore può senza inconvenienti, 



interpretare nei nostri Vi, è s„ = Zj a n j ■ A» e B„ hanno significato del tutto analogo a 



ìvn 



quello del testo. 



( a ) Si noti di passaggio il significato tutto particolare di questi limiti: Fissato arbi- 

 trariamente un numero K si può disporre delle a nj in modo che le s n che compaiono in 

 2' siano numeri positivi crescenti con n, arbitrari e tali quindi che Z'«n|Z«| sia arbitra- 

 riamente piccolo, per es. <£. Ma se poi si fa variare anche uno solo di questi numeri 

 K od e, dovranno variare le a nj e quindi i segmenti che compongono gli aggregati 

 A n ,B n ; le somme successive di cui cosi si cerca il limite non sono quindi le successive 

 approssimazioni di un' unica serie ben determinata. 



( 3 ) Lepons, pag. 49-50. 



