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« a 0 ... a n * ; " la variation totale de /" est la limite supérieure de l'ensemble 

 « des nombres v » . Ed in questa definizione è sottinteso che i punti di divi- 

 sione a 0 cti ... a n debbono essere in mimerò finito; che, se anche tal condi- 

 zione non è esplicitamente affermata, scomparirà ogni dubbio ove si esamini 

 la dimostrazione della proposizione fondamentale (e fondamentale appunto 

 nella presente argomentazione del Lebesgue): « La variation d'une fonction 

 « continue, relative à une division quelconque, tend uniformément vers la 

 « variation totale de cette fonction quand le maximum X de la longueur des 

 « intervalles employés tend vers zero » ( ! ): si mostra in essa l'ufficio capitale 

 della limitazione del numero n ( z ). 



9. Però, poiché non basta porre in dubbio una dimostrazione perchè 

 cada la proposizione relativa, non sarà privo d'interesse il mostrare sopra 

 un esempio come la condizione che n sia finito sia realmente essenziale 

 nella definizione sopra ricordata della variazione totale — almeno per 

 quanto riguarda l'attuale sua applicazione. 



Si consideri una funzione costante a tratti di Harnack ( :ì ), funzione con- 

 tinua, crescente nell'intervallo a ... b fra due valori qualunque, per es. 0 ... 1, 

 costante a tratti e per cui l'aggregato dei segmenti d' invariabilità ha per 

 misura la misura totale dell'intervallo: b — a. L'aggregato dei punti di 

 variabilità della funzione è perfetto, non denso, di misura nulla, e si ottiene 

 per chiusura dell'aggregato degli estremi dei segmenti di invariabilità. Fis- 

 sato arbitrariamente un numero 2, si considerino tutti i segmenti di inva- 

 riabilità di lunghezza >22 e a partire dagli estremi di ciascuno di essi, 

 verso l'interno del segmento si porti un segmento di lunghezza X; nell'in- 

 terno di quei segmenti restano così determinati segmenti minori che si 

 divideranno arbitrariamente in segmenti di lunghezza < X mediante punti 

 convenientemente intercalati. Si considerino quindi i segmenti d'invariabilità 

 di lunghezza ^>X, non esclusi quelli considerati or ora e verso il loro interno, 



X 



a partire dagli estremi, si portino segmenti di lunghezza - ; si considerino 



Li 



X 



poi i segmenti di lunghezza >- e si portino, allo stesso modo, in essi 



segmenti di lunghezza ^ e così via. 



Si vengono così a segnare nell' intervallo a ... b una infinità di punti 

 che, nell'ordine in cui si succedono in a ... b determinano un sistema di 

 intervalli, tutti contenuti nei segmenti di invariabilità della funzione, e 



(') Lecons, pp. 52-53. 



(") V. particolarmente pag. 53, linee 8 e seg. 



(°) Harnack, Matti. Ann. 24; Schoenflies, Bericht u. die Mengenlehre, pp. 166 e seg. 

 Sopra queste funzioni avremo ancora occasione di tornare con maggiori particolari in 

 una Nota successiva. 



Rendiconti. 1906, Voi. XV, 2° Sem. 47 



