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completamente assimilabile alla catena dei segmenti se ... x -f- h con cui si è 

 da noi e dal Lebesgue ricoperto precedentemente l'intervallo a ... b (« C'est- 

 « à-dire une suite d'intervalles n'empiétant pas les uns sur les autres et 

 « tels que chacun d'eux ait pour origine l'extremité du précédent ou la li- 

 » mite des extrémités des précédents » (')). Cionondimeno la variazione v 

 relativa a questa divisione dell' intervallo a ... b in intervalli parziali è 0, 

 comunque piccolo si prenda A, mentre la variazione totale della funzione è 

 finita (ed uguale all' incremento f(b) — f(a)). 



La differenza essenziale fra la presente catena d' intervalli e quella con- 

 siderata nelle pagine precedenti è precisamente questa: che là l'aggregato 

 dei punti di condensazione degli intervalli che la compongono è riducibile: 

 qui no. Ne consegue che questo aggregato di punti di condensazione ha, nel 

 1° caso, misura nulla, nel senso di Jordan, tanto esso quanto l'aggregato 

 dei valori corrispondenti della funzione; onde un valore approssimato quanto 

 si vuole alla variazione calcolata mediante la data catena infinita si può 

 ottenere mediante una catena finita di segmenti di lunghezza arbitrariamente 

 piccola: ciò non avviene nel 2° caso. E mentre questo fatto ha parte princi- 

 pale nella dimostrazione nostra, esso scomparisce in quella proposta dal 

 Lebesgue ( 2 ). 



10. Dalla proposizione dimostrata in questa Nota possono evidentemente 

 dedursi corollari analoghi a quelli del n. 4 della terza mia Nota precedente ( 3 ); 

 si avrà per es. che se una funzione continua ha una funzione derivata 

 finita ovunque meno che in un aggregato riduttibile, ed integrabile, ha 

 derivata unica in ogni punto fatta al più eccezione per quelli di un ag- 

 gregato di misura nulla, ed assume in ogni aggregato di punti di misura 

 nulla un aggregato di valori di misura nulla. 



( l ) Lebesgue, Sur les fonctions dérivées, questi Rendiconti, voi. XV, 2° seni., pag. 6. 



( a ) Le precedenti osservazioni, ed il desiderio di evitare ogni apparenza polemica, 

 credo mi dispensino dal fare altri rilievi intorno alla parte residua (pag. 7) della Nota 

 del sig. Lebesgue. Si applica in essa la proposizione ch'era contestata, quindi solo la 

 completa dimostrazione di questa può giustificarla: nè ciò basta ancora qui, a causa di 

 qualche affermazione forse un po' arbitraria: così l'applicazione della proposizione in di- 

 scorso a derivate che divengono infinite, e così ancora l'affermazione che si può supporre 

 la serie dei valori della derivata infinita in un senso solo. 



( 3 ) Questi Rendiconti, 1° seni., pag. 681. 



