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e . . . fi s indicano in generale quante delle i sono eguali rispettivamente 

 ad ii... i s (le sole fra le i che si suppongano fra loro diverse) ; infine S,- indica 

 la somma dei risultati ottenuti presentando le / in tutti gli m ! modi possibili 



fra loro. In tal modo m\ SV risulta simmetrico nelle ;', e viene a ran- 



presentare la somma di tutti i coefficienti dei termini contenenti la derivata 



(9) — 



nello sviluppo generale di d r f. 



Ma supponiamo che invece di un solo simbolo differenziale d se ne 

 considerino r diversi e si indichino con 



che si applichino successivamente alla f formando 



(10) d r ir-i ... do di ■ f , 

 invece di d r f. 



Come si esprimerà lo sviluppo di (10)? Da ogni termine di d r f come 

 si potrà dedurre ogni termine di (10)? 



La considerazione di ciò diventerà più facile senza mutare nella sua 

 sostanza, se invece di immaginare diversi fra loro gli indici j li immagi- 

 niamo tutti fra loro eguali, e per un momento sopprimiamo l'indice alle x. 



Evidentemente in luogo di ogni termine 



(11) — '— — d ii x...d'»^x , ( y i s = r ) 



n\ ... Pxl ... Vptn / 



si otterrà la somma di tutti quelli ricavati nel seguente modo: degli r sim- 

 boli d fra loro diversi scegliamone prima un gruppo di i x di essi, distri- 

 buiamoli cogli indici in ordine decrescente come in (10) e anteponiamoli 

 alla Xj x ; indi i 2 dei restanti ordinati come iti (10) e anteponiamoli a % H , 

 e così di seguito. 



Facciamo in tutti i modi possibili fra loro diversi questa distribuzione 

 degli r simboli d; e facciamo la somma di tutti i termini ottenuti; questa 



somma composta esattamente di — — — — : — termini starà al posto della 



i x \ ... jw,! ... 



(11) ; se le d diventano tutte eguali, questa somma diventa la (11). 

 Dopo ciò si comprende come, posto lo sviluppo del differenziale (10) 



sotto la forma 



(12) i y , ^ \ sp... s , 



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