﻿Matematica. — Sopra le funzioni che hanno derivata in 

 ogni punto. Nota di Beppo Levi, presentata dal Socio C. Segre. 



Nei numeri 5-7 della mia Nota Sulle funzioni derivate, pubblicata in 

 questi Rendiconti, voi. XV, 1° sem., pag. 674, mi sono occupato brevemente 

 delle proprietà che ad una funzione conseguono dall' ipotesi che essa abbia 

 derivata determinata — finita od infinita — in ogni punto. A quelle osser- 

 vazioni voglio aggiungere alcuni sviluppi che non mi paiono privi d'inte- 

 resse. 



1. Premetterò il lemma seguente: 



Se una funzione continua f(x) è tale che in tutti i segmenti dell'ag- 

 gregato compie, tentare ad un certo aggregato perfetto non denso T ha 

 rapporto incrementale <. a (a essendo un numero finito arbitrariamente 

 assegnato), esiste in T un aggregato denso di punti in cui una derivata 

 a sinistra di f(x) è <.«-}""'?' qualunque sia il numero positivo asse- 

 gnato ■>]. 



Sia invero S l'aggregato dei segmenti complementari a T e sia m ... n 

 (m <C n) un segmento di S : si ha, per ipotesi, r[f(x) ,m,n]^a; per la 

 continuità di f(x) esiste quindi un p tale che, qualunque sia q <^p , r[f(a) , 

 m , n -j- q~] <- « -f~ rj. Poiché, per ipotesi, T è non denso, in n ... n-\-p esi- 

 stono segmenti di S, e perchè T è perfetto, esistono di questi segmenti inte- 

 ramente contenuti in tale intervallo. Sia mi ... n x uno di questi segmenti 

 (onde m <i i <C m x -< n l <C n -\- p) ; esisterà un numero p x tale che, qua- 

 lunque sia fi , r\_f(x) , mi , n x -f- q{] <. a -J- rj. Sia %i -\-p\ un numero 

 qualunque *^>Ui e minore di "ciascuno dei numeri n x -\- Pi , n -\-p. Nell'in- 

 tervallo ni ... ih ~\-p[ esisteranno ancora segmenti di S, e sia m 2 ... n% uno 

 di essi: sia ancora p 2 un nur )ro tale che, qualunque sia q 2 <Cp 2 , r\_f{x) , 



m 2 , n 2 + q-ì] ^ « + fj e sia n^é'Pz — ( n ~\~P > n i + Ji » n n +Ì'.*)- 



Proseguendo in questa costruzione si determinerà una successione illi- 

 mitata di intervalli m ... n -\-p , mi ... n x -\-p[ , m % ... n 2 -j- p 2 , ••• contenuti 

 ciascuno nei precedenti; e le loro ampiezze, a cominciare dal secondo sono 

 rispettivamente minori di^j, ,p[ , ... e si può quindi supporre tendano a 0, 

 valendosi dell' arbitrarietà di questi numeri. Questi segmenti avranno quindi 

 un punto limite l interno a tutti e si avrà perciò 



r[f(x) , mi , l~] <- a -j- rj. 



I punti mi si avvicinano indefinitamente ad l; quindi una derivata a sini- 

 stra di f(x) in l sarà certo <. a -{-?]. D'altra parte si osservi che: 1°. I è 



