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punto limite degli estremi n ,n v , n 2 ... di segmenti di S ; quindi appartiene 

 a T. 2°. Si ha l — n<Cp e p si può assumere piccolo a piacere; quindi 

 ogni estremo destro n di segmenti di S è limite di punti l; siccome i punti n 

 costituiscono un aggregato denso in T, lo stesso avverrà dei punti l. 



Evidentemente il ragionamento si può ripetere per dimostrare l'analoga 

 proposizione per le derivate a destra; ma si può fare di più: determinato p 

 e m x ... ni come sopra si disse, si scelga r x tale che n<^m x — r x <C «i e 

 che, qualunque sia s x <C r x sia r\_f(x) ,m ì — s x , nf] <- « -f~ ij ; poi si scelga 

 il segmento m 2 ... n 2 di S nell'intervallo m x — r x ... m l e si determini p 2 in 

 modo che n 2 <C >h + p 2 <Cm x e che, qualunque sia q 2 <ip 2 , sia r\_f(x), 

 m 2 , n 2 -j- q-ì] <. a -f- 17. E così si prosegua prendendo i punti n -J- p , -f - ^ » 

 ^4-f~i' J 4"- rispettivamente a destra dei punti nn 2 n i ... e i punti — r x , 

 « 3 — r 3 , ... rispettivamente a sinistra di m x , m 3 , ... 1 segmenti to ... n-\- p , 

 m x — r x ... n x , ra 2 ... n z -\- p 2 , m 3 — r 3 ... n 3 , ... avranno ancora un punto li- 

 mite l' per cui sarà 



r [/'(,£) , m 2i , /'] ^ a + ?j r[/(#) , , » 2i+1 ] <. a -\- r) . 



Nel punto sarà quindi <. a -j- 1] tanto una almeno delle derivate a 

 sinistra quanto una almeno delle derivate a destra. Così: 



Nelle slesse ipotesi dell'enuncialo precedente esiste pure in T un ag- 

 gregato denso di punti in cui una almeno delle derivate così a destra 

 come a sinistra è .< a -f- 'fi- 

 li numero rj si può anche supporre = 0. Basterà infatti, nei prece- 

 denti ragionamenti, considerare al luogo del numero fisso ij una successione 

 di numeri rj , tj ìl , iq 2 ... tali che lim rp = 0 e supporre i successivi rapporti 



incrementali minori rispettivamente di a -f- jj , a -(- rj x , a -f , ... (')• 

 2. In forza di questo lemma si può enunciare che : 



Se una funzione continua f(x) ha derivata determinata in ogni punto, 

 l'aggregato dei punti in cui tal derivata v le -f- oo non può esser denso 

 in un aggregato perfetto T, complementare ad un aggregato di segmenti 

 in cui il rapporto incrementale di f(x) sia <.a, dove a è un numero 

 finito arbitrario. 



Infatti in T sarebbe pur denso un aggregato di punti in cui la deri- 

 vata di f(x) sarebbe <a: in tutti i punti di T l'oscillazione della derivata, 



(') Facile corollario di questa proposizione è che se f{x) è una funzione continua 

 costante a tratti, nell 'aggregato complementare dei tratti di invariabilità di f(x) è 

 denso un aggregato di punti in cui una almeno delle derivate a destra e a sinistra 

 della funzione è minore d' un numero positivo arbitrariamente assegnato, ed anche è 

 precisamente nulla (Cfr. Schoenflies, Bericht ù. die Jl/engenlehre, pag. 169, dove il risul- 

 tato è ottenuto con procedimento del tutto differente). 



