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rapporto a T sarebbe quindi = -J- oo. Ora ciò è assurdo, perchè essa deri- 

 vata è una funzione della l e classe del Baire. 

 3. Possiamo dedurre di qui che : 



L'aggregato dei putiti in cui una funzione continua f(x) avente deri- 

 vata determinata ovunque ha derivata infinita ha misura nulla ('). 



Si supponga infatti che l'aggregato A dei punti in cui f'(x) = -f- oo 

 abbia misura ,u > 0 . Sia A la misura dell' intervallo totale in cui la fun- 

 zione si considera ; fissato arbitrariamente un pt ^> 0 e <C fi si può deter- 

 minare un aggregato S' di segmenti contenenti nel loro interno tutti i punti 

 dell'aggregato complementare di A ed avente misura :s£. X — p,'. L'aggregato 

 perfetto A' complementare a questo aggregato di segmenti è interamente 

 contenuto in A; quindi in esso f (x) = -\- co. La sua misura è <_ fx' 



Si ordinino i segmenti di S' in un ordine determinato : se per uno di 

 essi avviene che esso sia contenuto in un intervallo tale che la parte di A' 

 contenutavi abbia misura nulla, gli estremi destro e sinistro d'un tale inter- 

 vallo saranno estremi destro e sinistro rispettivamente di segmenti di S' 

 ovvero sono punti di condensazione di questi estremi; cosicché, considerando 

 ordinatamente, nell'ordine prestabilito, questi segmenti si potranno rinchiu- 

 dere nei segmenti di un altro aggregato di segmenti S, tale che l'aggregato 

 complementare T è interamente contenuto in A', ha la misura /<' di A' e 

 la parte di esso contenuta in un intervallo qualsiasi non ha mai misura nulla. 



Fra i segmenti di S ve n'ha infiniti in cui il rapporto incrementale 

 di f(x) è <C 0 ; e precisamente gli estremi di questi segmenti formano un 

 aggregato denso in T. 



Si supponga infatti che così non fosse e sia a ... /? un intervallo con- 

 tenente punti di T e tale che il rapporto incrementale di /(%) in ogni seg- 

 mento di S contenuto in esso sia > 0. Sia /(/?) — f(a) = I e sia v (certo 

 > 0) la misura della parte di T contenuta in a... /?. Siarr il primo punto 

 di T seguente a (interno ad a ... /?) e sia n ... ti -f- % un qualunque inter- 

 vallo interno ad a ... ^ tale che r[f(x) , n , n -4- yT\ ^ e che7r-}-%sia 



estremo sinistro d'un segmento S. Sia tt, il primo punto di T interno ad 

 a ... @ e seguente ™-{-%; si operi sopra n { come or ora sopra jt, e così si 

 prosegua sui punti n 2 , n 3 , ... successivamente ottenuti e sui loro punti li- 



(') È facile vedere che, al contrario, questo aggregato potrebbe avere misura finita 

 qualunque se la funzione non avesse derivata in ogni punto. 



Avvicinando questa proposizione a quella enunciata nel n. 2 della Nota sopra citata 

 si potrà dire che: condizione necessaria e sufficiente perchè una funzione avente deri- 

 vata ovunque sia — a meno d'una costante — V'integrale indefinito {nel senso del Le- 

 òesgue) della propria derivata è che questo integrale esista e che abbia misura nulla 

 Vaggregato dei valori della funzione in ogni aggregato di punti di misura nulla (Cfr. 

 il n. 6 della Nota presente). 



