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miti, qualora qualche successione di questi punti si condensasse verso un 

 punto interno ad a... /?. Si determinerà una serie di segmenti (') contenenti 

 nel loro interno la parte di T interna ad a ... $ ed i cui segmenti comple- 

 mentari appartengono tutti ad S . La misura totale di questi segmenti sarà 



> v ; quindi la somma degli incrementi di f(x) in essi è > - v = I : se in 



tutti i segmenti di S interni ad a ... fi V incremento di f(x) fosse > 0, sa- 

 rebbe /"(/?) — f(a) > I , contro l' ipotesi. 



Si applichi allora il ragionamento del n. 1 scegliendo sempre i segmenti 

 mi ... rii fra quelli in cui il rapporto incrementale di f(x) è 0 : si giun- 

 gerà alla contraddizione già rilevata al n. 2 (con « = 0). Così è provata 

 la nostra proposizione. 



4. Se ora si riprende la proposizione dimostrata nel n. 6 della mia 

 Nota sopra citata, si vede che: 



La differenza di due funzioni aventi la stessa derivata in ogni punUj 

 non può aver derivata in ogni punto senza ridursi ad una costante. 



Per vero se due funzioni hanno derivata, e precisamente la stessa deri- 

 vata in ogni punto, la loro differenza ha derivata in tutti i punti che non 

 appartengono all'aggregato dei punti in cui la derivata data assume i va- 

 lori -jt oo ; in questi punti poi la derivata può esistere o non, esser finita 

 od infinita: ma per la proposizione ora dimostrata questo aggregato ha mi- 

 sura nulla; se allora si suppone che anche in essi la differenza considerata 

 abbia derivata, si può applicare la proposizione del citato n. 6 della Nota 

 precedente e concludere che tal derivata della differenza è nulla in ogni punto. 



In altri termini : 



Se una funzione ha derivata in ogni 'punto, essa è determinata dai 

 valori della derivata, a meno di una costante o di una funzione y>(x) 

 che non ha derivata in ogni punto ( 2 ). 



È facile vedere che la funzione <f(x) non può nemmeno soddisfare alle 

 condizioni — più larghe di quella di aver derivata — che sia, per ogni x, 



e che esista una successione di numeri h y h 2 ... decrescenti e tendenti a 0 

 tali che esista, per ogni x, il lim r[cp(x) , % , x -f- hi] ( 3 ). 



(') Questo ragionamento ha grande affinità con quello discusso nella mia Nota: An- 

 cora alcune osservazioni sulle funzioni derivate (Questi Eendiconti, questo volume) e, in 

 qualche piccolo particolare, può essere regolarizzato imitando i ragionamenti di quella 

 Nota. 



( 2 ) Inesattamente quindi al n. 5 della Nota citata si afferma che la funzione è de- 

 terminata dalla sua derivata, a meno d'una costante. 



lim 



A=0 



(p(x -f- h) — 2 (f>(x) -f- <f(x — h) 

 h 



= 0 



( 3 ) Infatti dalla relazione lim 



7i=o 



cp(x-\-k) — 2(jp(.g)-r-yfa — h) 

 h 



= 0 segue anzitutto 



