﻿— 414 — 



5. Le osservazioni dei numeri precedenti indicano come si possa co- 

 struire in un determinato intervallo a ... b una funzione avente derivata in 

 ogni punto, e derivata infinita nei punti di un determinato aggregato G, 

 perfetto di misura nulla. 



Sia cioè S l'aggregato dei segmenti complementari di G; si ordinino 

 i segmenti di S in una serie semplicemente infinita (che si può, per fissare le 

 idee, supporre disposta secondo le lunghezze crescenti) e a ciascun segmento s £ - 

 della serie si faccia corrispondere un numero positivo ai in modo che, detta 

 <Si la lunghezza di Si e A un numero finito arbitrariamente assegnato, sia 



lim - = +oo V ai < A ('). 



l'= 00 V 1 



In ciascun intervallo S; si definisca quindi una funzione continua, deri- 

 vabile, avente derivata infinita negli estremi dell' intervallo (e che per sem- 

 plicità si potrà supporre monotona) e che nell' intervallo medesimo assuma 

 l' incremento a* . In ogni punto dell'aggregato S risulterà definita una fun- 

 zione f(x), derivata della funzione considerata nell'intervallo cui il punto 



che la funzione <p(x) soddisfa al teorema della media: se in un certo intervallo a ...p 

 il rapporto incrementale della funzione è k, esiste nell'intervallo almeno un punto in 

 cui la funzione ha derivata, e precisamente uguale a k (Cfr. Harnack, Math. Ann. 23, 

 pag. 249. Lehrsatz 6): dalla relazione medesima segue inoltre che le derivate a destra 

 e le derivate a sinistra della q>(x) sono uguali in ogni punto. È facile allora vedere che 

 si può ripetere il ragionamento con cui si stabilisce, per le funzioni aventi derivata ovun- 

 que, il teorema del Darboux (V. p. es. Lebesgue, Lecons sur Vintégration, Paris, 1904, 

 pag. 89) e dire che: se A e B sono numeri compresi fra le derivate superiore ed infe- 

 riore di (p(x) rispettivamente nei punti « esiste nell'intervallo a ... /S almeno un punto 

 in cui q>{x) ha derivata e precisamente derivata uguale ad un numero C arbitraria- 

 mente assegnato fra A e B. Si consideri allora la funzione di l a classe del Baire 

 lim r[(p(x) X X -\- hi] : ad essa, dopo le cose precedenti, si applicano tutti i ragionamenti 



del n. 6 della mia Nota già citata, onde si può concludere che in ogni punto lim r[cp(x) 



x x -f- hi] = 0, e quindi la derivata di <p{x) è nulla in ogni punto ove essa esiste. Rav- 

 vicinando questo fatto alla generalizzazione ora ricordata del teorema del Darboux si Con- 

 clude che in ogni punto f(x) ha derivata nulla. 



(') Basterà, per es., scomporre la ff; in somme parziali y~ <r; in modo che. 



posto 



^_ <sì= V Oi -f- B,-+, , sia per ogni j ^_ <Si > - Rj+, 

 A /S \ a ~ 1 



e assumere quindi = — • 1 — 1 ai per tutti gli i compresi fra m a e m a +f 



l[b — a) \àj 



