﻿appartiene. Si completi la definizione di f(x) ponendola = -j- oo nei punti 

 di G e si ponga infine 



P(ar) = [ X f(x) dx . 



Sarà F(a) =0 , F(è) = y_ai <. A ; inoltre F(x) sarà monotona e quindi, 

 per ogni se, F(x) <. A ; infine 



dx 



Se allora esiste un h x tale che 1* intervallo x ... x -f- A, sia interamente 

 contenuto in un segmento , è evidentemente 



lim r\J(x) ,x,x + ti] = f{x) ; 



' h=0 



se invece un tale hi non esiste, si chiamino generalmente s t gli apparte- 

 nenti ad ... ,r — j— /i ; sarà 



J~x+h a 

 f{x) dx = y a t = V — <s t 

 x t t • 



ed 



h = J_a t . 



t 



Quindi il valore di r[F(x) ,x,x-\- A] sarà maggiore del minimo valore dei 

 rapporti — ; diminuendo h diminuiscono i a t e cresce quindi indefinitamente 

 il loro posto nella serie dei o"; ; quindi, per h sufficientemente piccolo, il mi- 

 nimo nominato di ^ diviene grande a piacere e 



lim r[_~F(x) , x , x -f- K] = + oo = f(x) . 



Ugualmente si ragiona nel calcolo del lim r[_F(x) ,x,x — K\ . 



In ogni punto adunque la funzione F(^) ha per derivata f(x). 



6. Basta ora aggiungere alla funzione F(x) una funzione (del tipo di 

 quelle dell' Harnack) (') costante a tratti nei segmenti Si, per ottenere un'altra 

 funzione avente ancora derivata in ogni punto, e la stessa derivata di F(«r), 

 ma non identica a questa. E la nuova funzione potrà avere nell' intervallo 

 a ... b un incremento arbitrario mentre, assumendo A sufficientemente piccolo, 

 si potrà supporre che l'integrale della sua derivata sia piccolo a piacere ( 2 ). 



(•) Harnack, Math. Ann. 24, p. 227-230; Schoenflies, Bericht u. die Mengenlehre, 

 Jahresberichte d. d. Math.-Verein. 8-1900, p. 171. 



( 2 ) Si deduce ]' indipendenza delle due condizioni enunciate nella nota al n. 3 come 

 necessarie e sufficienti per la validità del teorema fondamentale del calcolo integrale, nel 

 ■caso di funzioni aventi derivata ovunque. 



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