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Matematica. — Le superficie di Serret negli spasi a cur- 

 vatura costante. Nota del prof. Umberto Sbrana, presentata dal 

 Socio L. Bianchi. 



1. Consideriamo, nello spazio i2 3 a curvatura costante ed eguale a K 0 , 

 quelle superficie immaginarie caratterizzate dalla proprietà di avere an solo 

 sistema di linee di curvatura. Nel caso dello spazio euclideo S 3 queste su- 

 perficie sono state studiate; esse sono integrali della nota equazione: 



(I) Hrt - s 2 ) (1 +f + cf) - [(1 + f) r -2pqs+ (1 +f) Q* = 0 , 



integrata per la prima volta da Monge. 



Nel caso di .Q 3 basta fare la nota rappresentazione conforme di S2 3 stesso 

 su S 3 , per caratterizzare le superfìcie suddette. Poiché alle linee di curva- 

 tura di una superficie 2 di fì 3 corrispondono le linee di curvatura sulla tra- 

 sformata S di S 3 , così se 2 ha un solo sistema di tali linee, altrettanto accade 

 di S. Le superficie a linee di curvatura coincidenti di Sì 3 sono dunque quelle 

 che hanno per immagini superficie della stessa specie di S 3 . 



Fra queste superficie di Sì 3 è particolarmente interessante il considerare 

 quelle che sono a curvatura relativa costante, eguale a k 0 . Esse sono ma- 

 nifestamente le analoghe di quelle dell' S 3 trovate da Serret, e le chiame- 

 remo perciò le superficie di Serret degli spazi a curvatura costante. 



Scegliamo ora per rappresentazione conforme di Sì 3 su S 3 quella che 

 fa corrispondere ad un punto P di Sì 3 , avente le coordinate di Weierstrass 

 x 0 , (Ci ,x 2 ,x 3 , quel punto P' di S 3 le cui coordinate x , y , & sono quelle 

 di Riemann del primo. Sussistono allora le forinole ('): 



1 X\ _ 1 X 2 1 x 3 



2 a- 0 =fcl ' y ~2x a ^l ' * ~" 2 x 0 =t 1 ' 



Ni 



4 — x 



=4+Z* 2 Z^i 



1 ' 3— 1 



Z x ' — 4 Z x * - 4 



nelle quali è 2 x 2 = x 2 -f- if -\- z 2 , e si devono prendere i segni superiori. 



( L ) Bianchi, Lezioni di Geometria differenziale, Voi. I, pag. 443. 

 Rendiconti. 1906, Voi. XV, 2° Sem. 



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