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o gli inferiori a seconda che -Q 3 è ellittico, od iperbolico, cioè a seconda 



che K 0 = , o che K 0 = — ^ > con R reale. 

 R~ li 



Con questa rappresentazione, le immagini delle superficie di Serret di 



i2 3 sono integrali comuni alla (I) e all'altra (*): 



rt — s* , . _ lA (l + ^)r-2 F/ s + (l + P 2 )^ 



(ii) /~òi i)i ~òiv 



1 + r + 2 



ove è: l = , il segno dovendosi scegliere in corrispondenza con 



R 



quello scelto per le (a). 



Ora faremo vedere che si possono esprimere le coordinate x , y , s di 

 un punto di una di queste superficie immagini in funzione nota di due pa- 

 rametri u , v\ con ciò otterremo in termini finiti l'integrale generale, con 

 una funzione arbitraria del sistema costituito dalle (1), (II). 



2. Diremo curva minima di Sì 3 una curva, le coordinate x\ di un cui 



punto soddisfino, nel caso di K 0 = — , all'equazione: 



R 



dx\ -j- dx\ -j- dx\ -f- dx\ = 0 , 

 nel caso di K 0 = — ™, all'altra: 



jKi 



dx\ -f- ^2 + <^3 — = 0 . 



Vediamo ora come si possa trovare la rappresentazione parametrica di 

 queste curve. Basta perciò osservare che la rappresentazione del § 1 a curve 

 minime di Ì2 3 fa corrispondere curve della stessa specie di S 3 . Ora la più 

 generale curva minima di S 3 , escluse le rette, si ottiene esprimendo con le 

 seguenti le coordinate x,y,s di un suo punto per il parametro u: 



1 i 

 (1) X== 2^ l ~ u2 ) ( P" J r u ^' — 9> » U = ^{l+u 2 )(p" — iu(p'-{-i(p 



2 = Uff" — (p' , 



essendo g> = (p(u) una funzione arbitraria di u. Avremo dunque che la più 

 generale curva minima di Sì z , escluse sempre le rette ( 2 ), si otterrà ponendo 



(') Bianchi, Lezioni di geometria differenziale, Voi. 1°, pag. 515. 



(-) Per retta minima di Sl 3 deve intendersi una curva minima, piana. È facile ve- 

 dere, per mezzo della (a), che queste rette sono tutte e sole quelle che hanno per imma- 

 gini nell' S 3 rette minime. 



