﻿per x,y,s nelle seconde delle (a) i valori (1), con che troveremo: 



4=i=5P' S — 2 SpV |(! — u 2 ) 9>" + «?p' — 9 



— ^ 1 X\ = - 



— 7 + %<p<p" =- + y' 2 — 2g>g>" 



(2) 



41^ -y y — ^ 



lo la 



— 4 + SP'" — 2gV' —4 + ^' — 2 <P<?" 



il segno superiore avendosi per K 0 = ~~, , l' inferiore per K 0 = — — . 



R R 



3. Dimostreremo ora, nel caso dello spazio ellittico, che l' inviluppo di 



una semplice infinità di sfere di raggio ridotto, costante ed eguale ad 



w 



R tang — , i cui centri sieno i punti di una curva minima C , che non sia 

 R 



una retta, è costituito di due falde 2 , 2 X che sono due superficie di Serret 



la cui curvatura relativa k 0 è uguale ad . 



R 2 tang 2 |- 



Sieno infatti x\ le coordinate di un punto M di C, funzioni del para- 



w 



metro u . Le coordinate Xi dei punti della sfera di raggio ridotto R tang — , 



R 



avente il centro in M, soddisferanno all'equazione: 



(3) x 0 x r Q 4- Xi x[ -\- x% x' z 4- x 3 x' % = cos ^ . 



Per avere l'inviluppo di questa semplice infinità di sfere, dovremo as- 

 sociare alla (3) l'altra: 



che si ottiene dalla (3) derivandola rispetto ad u. È facile vedere che si 

 soddisfa alle (3), (3)* prendendo (') : 



( d 2 x'j \ 

 du z , dx'i \ w 

 -^-+ y ^/ Sen R ' 



(') Affinchè le (4) abbiano un significato è necessario che sia fi=f=0. Non può però 

 essere .2 = 0, poiché in tale ipotesi, siccome in fine del § 3 si trova che il quadrato 

 del wronskiano delle &j (i == 0 , 1 , 2 , 8) è eguale a — Sì* , cosi si avrebbe che questo 

 determinante sarebbe nullo, che quindi fra le x( sussisterebbe una relazione lineare, omo- 

 genea, ossia che C sarebbe una retta, ciò che si è escluso. 



