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luppo sono espresse in funzione dei due parametri u,v dalle formole('): 



. ' w . I du 1 , dx'i 1 i w 

 (7) ^ = ^cosh- + ^— + y — Isanh^, 



con 



|/ —\dir ) \du 2 ) ' 



le quali a seconda che si prende il segno superiore, o l'inferiore per Sì, ci 

 danno i punti di una, o dell'altra delle due falde 2 , 2 X da cui l' inviluppo 

 stesso è costituito. Si trova poi che 2 e 2 l sono due superficie di Serret 



aventi la curvatura relativa k 0 eguale a . 



R 2 tangh 2 — 



Concludendo potremo dire dunque che: 



L'integrale generale del sistema costituito dalla (I) e dalla (II), nella 



2 4 1 



quale ultima si prenda 1 = e k 0 = è dato dalle for- 



R- tang 2 - 



mole: 



1 X x 1 Xo 1 x 3 ' 



*~2^fl ' y ~2ar 0 + l ' *~~-2# 0 + l' 



ove per le Xi si devono mettere i valori che si ottengono dalle (4), ponen- 

 dovi per le x\ le espressioni corrispondenti ai segni superiori nelle (2). Nel 



v o 1 

 1 — ~4 



caso invece in cui nella (II) si faccia fe 0 = , 1= 7; ■ 



R- tangh 2 — 

 R 



l'integrale generale del sistemi stesso è dato dalle seguenti: 

 1 Xi 1 Xi 1 x 3 



X 9 -•„ 1 ' ^ 



2 ar 0 — 1 1 J 2 x 0 — 1 ' 2 # 0 — 1 ' 



jwró" /e #j Aa«»o i valori che risultano dalle (7), quando vi si pon- 

 gano per le x\ le espressioni che si ottengono dalle (2), scegliendo i segni 

 inferiori. 



Sono poi manifestamente in ogni caso integrali del sistema (I), (II) 

 le sfere. 



(') Che non possa essere Sì = 0 si dimostra in modo analogo a quello usato nella 

 nota del § 3. 



