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ove li , & t : , ... , Xn-i sono certi moltiplicatori, determinati per ogni determi- 

 nata direzione Ojj- , ^jjj soddisfacente alla (2). Quando , -^-^ rappre- 

 sentano i coseni di direzione della tangente a una curva passante per P, 

 si dirà che i è nna direzione cotangente in P alla curva stessa; 



fra quelle due direzioni sussistono le relazioni (3). Se la curva è una ca- 

 ratteristica esiste una direzione cotangente che coincide colla tangente alla 

 caratteristica stessa; in tal caso le X 1 , X 2 , ... , A w _i sono radici di un sistema 

 d'equazioni algebriche i cui coefficienti sono formati colle a w - 



Introduciamo nelle (3) i coseni della normale alla curva in P, ponendo 



dy dx dx _ dy 



ds dn ' ds dn ' 



~ò n ~ 1 Z ~ò"~ 1 Z ~ò n ~ 1 2- 



poi moltiplichiamole ordinatamente per — — , — — — , ... , — e som- 



~t>x ~òx ~òy oy 



miamo. Allora posto 



si ottiene 



formula fondamentale per ciò che segue. Il primo membro è una combina- 

 zione lineare di derivate lungo la cotangente. 



2. Sia ancora P(^ 0 > Vo) un punto della regione K, e PCa , PC 2 , ... , PC,, 

 le n caratteristiche uscenti da P e disposte in guisa che, facendo ruotare 

 nel senso positivo la tangente positiva in P a PCi , essa vada successiva- 

 mente a sovrapporsi alle tangenti positive condotte per P a PC 2 , ... , PC„ . 

 Diremo che PC\ e PG,j sono le caratteristiche estreme, PC 2 , ... , PC„_ 2 le 

 intermedie, e PC S , PC s+l due consecutive. Sussiste allora il teorema seguente: 



Esiste una soh- >.'■: • Gl'equazione proposta continua insieme alle sue 

 derivate fino a ^ JtW ordine n — 2 (incluse) entro una cert' area com- 

 presa tra PCn i PC„, tale die essa e le derivate ora menzionate acqui- 

 stano sulle caratteristiche estreme valori dati a priori. Le derivate d'or- 

 dine n — 1 sono discontinue attraverso le caratteristiche intermedie. 



La frase « dare sopra una curva i valori di z e delle sue derivate fino 

 a quelle d' un cert'ordine » , che si usa qui per concisione, non vuol dire che 

 tutti quei valori possono prendersi in modo arbitrario; ben si sa che tra 

 loro devono essere verificate delle relazioni, per modo che basta dare i va- 

 lori di una derivata per ogni ordine. S'intende poi che tutti i dati devono 



