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zioni birazionali, scrivendo che il genere lineare p U) = 1 (p a ^O P 2 >0), 

 e che il numero degli integrali doppi di 2 a specie soddisfa ad una certa 

 diseguaglianza. 



Ma riservo questo teorema (che esige ancora qualche sviluppo) ad un'altra 

 comunicazione. 



1. Sia F una superfìcie algebrica la quale ammetta una trasformazione bi- 

 razionale non periodica, ma non un gruppo continuo di trasformazioni in sè 

 stessa. Anzitutto sarà il suo genere aritmetico 



Pa > 0, 



ed il suo bigenere 



P 2 >0 (P 2 >jJ a ); 



infatti una superficie per cui p a === P 2 — 0 è razionale (Castelnuovo), ed una 

 superficie per cui p a <C 0 è riferibile ad una rigata, oppure è ellittica o ipe- 

 rellittica (Enriques), cioè tutte queste superfìcie posseggono gruppi continui 

 di trasformazioni. 



S'indichi con p a) il genere lineare (virtuale) di F; il bigenere P 2 , il 

 trigenere P 3 ecc. soddisferanno rispettivamente alle diseguaglianze 



P-2 > j3a+J0 O) 



Ps>j>« + 3p<» — 2 

 P* >^a + 6;j (1) — 5 



Quindi, se ^ (,) > 1 e p a ^0, si avranno su F almeno oo 3 curve trica- 

 noniche ecc. ; ed è facile vedere che queste, a prescindere tutt' al più da 

 parti fisse, saranno irriducibili, per modo che si potrà costruire una super- 

 ficie (f , trasformata di F appartenente ad un certo spazio S r , avente come 

 sezioni iperpiane curve pluricanoniche. 



Ora se F ammette trasformazioni birazionali in sè, queste si rispecchiano 

 in trasformazioni proiettive di <p . Ma, com'è noto, una superficie che am- 

 metta una trasformazione proiettiva non periodica, ammette tutto un gruppo 

 continuo di trasformazioni proiettive, ed è razionale 0 rigata (Enriques-Fano). 

 Ciò non potendo accadere per la y , si conclude intanto che il genere lineare 

 di F vale 



p iV = 1. 



2. Ora, lasciando da parte l'ipotesi che la F possegga trasformazioni 

 in sè, vogliamo stabilire un teorema generale sulle superfìcie di genere li- 

 neare p ll) = 1 . per cui p 0 , 0 , P 2 > 0 . 



Designando con _??,,(= P,) il genere geometrico, si possono distinguere 

 i seguenti casi : 



1) pv = l,p g >l.. 



