﻿— 667 — 



Allora la superficie F contiene un fascio di curve ellittiche, costituito 

 dalle curve canoniche o delle loro componenti, se quelle sono riducibili. 



Qui il bigenere P 2 può avere i valori 



P 2 =l o P 2 >1. 



Se P 2 = 1 la superficie ha tutti i plurigeneri uguali ad 1 ; le curve 

 pluricanoniche hanno l'ordine 0; ogni sistema lineare puro di genere n su F 

 ha il grado n = Ire — 2 . Il primo esempio di tali superficie è dato dalla su- 

 perficie del 4° ordine che non contiene in generale fasci di curve ellittiche. 



Se P 2 > 1 si ha su F un fascio di curve ellittiche bicanoniche, o com- 

 ponenti delle curve bicanoniche. 



3) ^'> = l,^=^ a = 0,P 2 >0. 

 Può aversi 



P 8 = l o P 2 >1. 



Se P 2 = 1 la curva bicanonica può avere l'ordine 0 (essendo P 3 = P 5 = ••• 

 = 0 P 2 = P 4 =P 6 = - = 1), oppure l'ordine >0 (essendo P 3 >0 , P 6 >1); 

 ed in ambi i casi la F possiede fasci di curve ellittiche ('). 



Se P 2 ^> 1 le curve bicanoniche, o le loro componenti, formano su F 

 un fascio di curve ellittiche. 



4) p" = l, p a = 0,p g =l. 

 Essendo l'irregolarità 



la superficie possiede un integrale semplice di l a specie con due periodi e 

 quindi un fascio ellittico di curve C, di grado 0 e di un certo genere 

 ?t(>0), Essa possiede poi una curva canonica K ellittica secante in27r — 2 

 punti ogni curva C. 



Vogliamo dimostrare che, dato possa essere n ^> 1 , sarà il bigenere 

 P 2 > 1 , e quindi si avrà su F un fascio di curve ellittiche costituito dalle 

 curve bicanoniche o dalle componenti di queste. 



Pongasi che sia n ^> 1 e P 2 = 1 ; facciamo vedere che si arriva ad un 

 assurdo. 



Si costruisca il sistema lineare |C"| secondo aggiunto ad una curva C 

 del fascio ; esso ha la dimensione 3<t — 3 (perchè il primo aggiunto 

 |C'| = |C -f- K| ha il genere Sn — 2), e, stante l' ipotesi P 2 = 1 , sega sulla 



C la serie bicanonica completa g^T* • 



(') Cfr. Enriques, Sopra le superficie algebriche di bigenere uno. Memorie della 

 Società Italiana delle scienze (detta dei XL), 1906. 



