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Ora designando con C un'altra curva qualsiasi del fascio ellittico dato 

 su F , il sistema 



|C" + C — C| = C"| 



è il secondo aggiunto a C. Al variare di C tutti questi sistemi lineari for- 

 mano un sistema continuo non lineare 



jC"f, 



di dimensione Srr — 2 , le cui curve segano su C gruppi della anzidetta 



serie bicanonica g^T^ . Pertanto dovranno esistere oo f curve residue di C 



rispetto a \G"\, una delle quali è la curva bicanonica diF. Queste curve 

 saranno, come la bicanonica, di genere 1 , e comporranno un fascio ellittico. 

 Ma tale conclusione è incompatibile coli' ipotesi p g = 1 , perchè a questo 

 secondo fascio ellittico corrisponderà un secondo integrale semplice di l a 

 specie di F, ciò che porta p g — p a ^>l. 



Raccogliendo i resultati dell'analisi precedente possiamo enunciare la 

 conclusione : 



Una superfìcie (p a > 0 , P 2 > 0) di genere lineare p llì == 1 contiene 

 sempre un fascio (razionale o irrazionale) di curve ellittiche ; fa eccezione 

 il caso delle superficie con tutti i generi 1 (p a = P 2 = 1). 



3. In base ai nn. 1, 2, ogni superficie che ammetta una trasformazione 

 generante una serie discontinua, ma non un gruppo continuo, di trasforma- 

 zioni birazionali in sè stessa, possiede un fascio di curve ellittiche, oppure 

 ha tutti i generi uguali ad 1. 



Si tratta ora d' invertire, fin dove è possibile, questo resultato. 



Sia F una superficie contenente un fascio di curve ellittiche C ; e sup- 

 pongasi che vi siano due curve Ki , K 2 secanti le C in uno stesso numero 

 m di punti e secondo gruppi G' m , Gr," i cui multipli non siano equivalenti. 



Sopra una C generica consideriamo l' integrale ellittico di l a specie I, 

 coi periodi u*,m'; siano a x , a 2 rispettivamente le somme dei valori di I 

 nei punti dei due gruppi G,„ , Gr' m . Allora si può definire razionalmente una 

 trasformazione birazionale della curva C in sè stessa, ponendo 



P == I + a x — a 2 . 



Questa trasformazione non è periodica, poiché si avrebbe altrimenti 



r(rt, — a 2 ) = 0 (mod. w , w). 



Al variare di C nel fascio si ha una trasformazione birazionale della 

 superficie F , le cui potenze formano un gruppo discontinuo. 



È chiaro che se le curve 7f t K t segassero le C in un numero diverso di 

 punti, p. es. in m 1 , m 2 punti rispett. basterebbe sostituire ad esse due mul- 



