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sviluppabilità in serie di tali prodotti di ima funzione arbitrariamente data 

 sull'ellissoide, sia nel considerare la seconda soluzione dell'equazione diffe- 

 renziale di Lamé per il fattore dipendente dal parametro degli ellissoidi 

 omofocali. Questa soluzione, moltiplicata per gli altri due fattori considerati 

 da Lamé, somministra infatti un'altra soluzione semplice dell'equazione di 

 Laplace, che è armonica all'esterno dell'ellissoide ; con queste armoniche 

 elementari di seconda specie, mercè una serie infinita, si risolve per lo spazio 

 esterno dell'ellissoide il problema di Dirichlet. Allo stesso risultato era pure 

 giunto, pressoché contemporaneamente Heine 



Ma se da un canto i prodotti di Lamé di prima e seconda specie of- 

 frono un procedimento teoricamente soddisfacente ed elegantissimo per risol- 

 vere il problema di Dirichlet, rispettivamente all' interno ed all'esterno del- 

 l'ellissoide, dall'altro la legge della loro formazione è così involuta che 

 malagevole ne riesce V impiego nella risoluzione di problemi concreti. 



Per ciò mi è sembrato plausibile il tentativo di sostituire ai prodotti 

 di Lamé altre armoniche elementari la cui legge di formazione fosse espli- 

 cita e semplice. 



Lo scopo è stato da me raggiunto considerando le derivate n me della 

 funzione potenziale U n di un corpo ellissoidico la cui densità è: 



ove al solito con a , b , c sono indicati i tre semiassi dell'ellissoide. 



Più precisamente nel secondo dei miei lavori sovra ricordati ho stabi- 

 lito i seguenti teoremi. 



Teorema A. Se Q„ [x , y , z) indica un polinomio armonico , omogeneo, 

 del grado n, la funzione 



è armonica all'interno ed all'esterno dell'ellissoide, e dà la funzione po- 

 tenziale dello strato ellissoidale di densità: 



ove P designa la distanza fra il centro ed il piano tangente all'ellissoide 

 nel punto {x , y , z). 



(') Cfr. Heine, Hanclbuch der Kugelfunctionen (2 a edizione). 



