﻿Teorema B. Per ogni numero intero n, scelti 2n-\- 1 polinomi ar- 

 monici, omogenei, ài grado ni 



fra di loro linearmente indipendenti, si avranno in corrispondenza 2n-\~l 

 armoniche ellissoidali indipendenti dell' n mo ordine: 



U^ = Q<?(«^- , b^- , c^-)jJ„ (i = 0,l...,2n), 



\ 1>% l>y itz ; 



ed ogni armonica entro e fuori dell' ellissoide si può rappresentare colla 

 serie : 



00 2tl 

 n=0 (=0 



ove le a indicano delle costanti. 



Teorema C. Sia f una funzione arbitrariamente data sull'ellissoide ('); 

 si ponga : 



r r }(*,/ = 0,l,...,2»), 



A.% J) = j U« h\p d S = J AJ? dS = A"; 



f.i) 



oye indica l'elemento di superficie dell'ellissoide e le integrazioni vanno 

 estese a tutto l'ellissoide; allora i coefficienti té® ... cé^ dello sviluppo 

 dell'armonica che soli' ellissoide diviene uguale ad f si ottengono dalle 

 2n -f- 1 equazioni lineari : 



In 



X A.<f-' ) = f dS (i = 0 , 1 , 2 , , 2n) , 



j=0 



«7 cw? determinante è diverso da zero. 



In particolare le funzioni Q5?> , Q£' Q$f n) si possono sempre scegliere 



in guisa che risultino nulle tutte le A<p'> per z'=f=/, con la qual scelta l'in- 

 dicato processo d'integrazione dà isolatamente i coefficienti «„ . Tale scelta 

 dipende dalla riduzione a somma di quadrati di una forma quadratica a 

 2n-\-l variabili. Le funzioni di Lamé appartengono a questa particolare 

 categoria delle nostre armoniche ellissoidali. 



In questo breve lavoro, premesse alcune proposizioni sui polinomi armo- 

 nici, dò una nuova e più diretta dimostrazione dei teoremi fondamentali A 



(') Le limitazioni di imporsi all'arbitrarietà della f sono quelle stesse che occorrono 

 per dimostrare la sviluppabilità in serie di funzioni sferiche, da una funzione data sulla 

 sfera. 



