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e B . Quanto al teorema C rimando il lettore al § Vili della mia ricordata 

 Nota inserita nel voi. XLI degli Atti della R. Acc. di Torino (pag. 538-541). 



1. Stabiliamo anzitutto un lemma algebrico, che è utile nella teoria 

 delle funzioni armoniche. 



Se P„ indica un polinomio omogeneo, a coefficienti reali, si possono 

 determinare in un sol modo : a meno di fattori costanti il cui prodotto 

 è l'unità n funzioni lineari reali aix -j- fiiy -\- yiz (i ' = 1 , 2 , ... , n), ed 

 un altro polinomio reale P„_ 2 in guisa che risulti identicamente : 



n 



(1) P n (x , y , z) X] + fap + Ti*) + (x* + f + z 2 ) ?n-2 (x,y, z). 



Interpretate x ,y , z come coordinate omogenee di un punto nel piano, con- 

 sideriamo le curve: 



?„(x,y,z) = 0 , ?- 7 (x,y,z) = (x* + y* + z*) = 0, 



le quali si intersecano in 2n punti imaginari due a due coniugati. Congiunta 

 ciascuna intersezione colla propria coniugata avremo n rette reali : 



a i% + Pip + 7iZ = 0 Of— 2 -, ... , n). 



Si ponga: 



TI 



n n = n + hy + y»*-) . 



e si consideri il fascio di curve: 



P w X TC n = 0 , 



il quale ha 2n punti base sulla conica : P 2 = 0. 



Si determini X in guisa che la corrispondente curva del fascio abbia 

 a comune colla conica un altro punto fuori dei 2n anzidetti, la curva che 

 così si ottiene si spezza nella conica ed in altra curva P n _ 2 = 0 , sicché 

 detto A 0 il parametro di tal curva avremo identicamente : 



Pjl — ^-o T^n = ?2 • P«— 2 • 



Si osservi che X 0 è necessariamente reale giacché i punti sovra P 2 = 0 sono 

 due a due imaginari coniugati. Con ciò è dimostrata l'identità (1). 



Interpretiamo x ,y , z come coordinate ortogonali di un punto dello 

 spazio e diciamo hi la direzione i cui coseni sono proporzionali ad «j,^,'^; 



se m (1) cambiamo x , .?/ , z m — , — , — avremo : 



K ' J ~èx ~òy ~ì>z 



[ } n \l>x ^y'Dz)-° Vh ^h 2 ~òh n ^ "~ 2 W ' ' ^ / 2 ' 



