﻿ove c indica una costante e le b direzioni h x ... h n si possono a coppie in- 

 vertire. 



Di qui scende, come corollario: una qualsiasi operazione derivatoria 

 d'ordine n da effettuarsi sopra una funzione armonica; a meno di un 

 fattore costante, equivale ad n derivazioni secondo n determinate direzioni. 



In particolare, essendo com'è notissimo : 



" \~òa ' Dy ' Hs / r r 2n+l 



ove : r — ~\far -\- y* = z 2 e Q„ indica un polinomio armonico omogeneo del 

 grado n, risulta che, a meno di un fattore costante, qualunque polinomio 

 armonico omogeneo del n mo ordine è dato dalla formula: 



_j>__2>_ P . .1 Qit(% , y , z) 



"òhi ~òh s "' ~òh n r ~ r 2,!+1 



2. Si ha: 



~ò 1 a l%.-{-.Piy -{- Yl2 ri i i ti • i N 



= / , Qi = — + fty-h ri*) i 



dunque : 



^' W ' ~òy ' ~òi } r r 3 ' 

 Del pari si trova subito: 



i _ 3(«iff 4- /? t y -f- ri*) («2^? + /% + r»*) — + 1 9 !^» + ri/g) ^ . 



DA 2 r r 5 ' 



~òy ' ~àzj r r* ' 

 e si dimostra ovviamente che sarà in generale: 



ove e„ indica una costante. 



Basta provare che se la relazione è vera per n = m lo sarà pure per 

 n = m -f- 1 . Posto : 



Qm-h 1 ~t) ~~ò ~ò 1_ _ "t> Qto 



si ha subito: 



Q m+1 = — (2m -f- 1) Q M . (a m+ì x-\r Pr/i+iy + 7m+i*) + A m 



o""/n-M 



