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almeno due di esse non differiscono solo per un fattore costante. Tale dimo- 

 strazione fu fatta per molti casi particolari; mi propongo qui di dare un 

 teorema generale per una classe di gruppi proiettivi che comprende tutte quelle 

 già note. 



1. Chiamate x L = ^ i>]i le variabili indipendenti, indicherò le varia- 

 bili trasformate per l'operazione g con gx% = x[ = £[ 9) -f- irf'K Indicherò 

 con a 0 la quantità coniugata di a. 2 2 „ sarà lo spazio lineare in cui sono 

 coordinate cartesiane le tì ed rji-i ove occorra mettere in evidenza che le f, 

 ed rji sono la parte reale e il coefficiente dell' immaginario di x% indicherò 2 ìn 

 con (2) n . 2 2n _ h è un qualunque spazio lineare subordinato a 2n — h dimen- 

 sioni : quando h sia pari = 2k e le equazioni che determinano il I„. : i; si 

 possano scrivere come k equazioni lineari nelle x\ indicherò il 2 Zn _ ìh con 

 (2) n _ ]t . Intenderò che i punti all' infinito formino un (2)„-i che indico con 

 (2)*-i ; ciò non deve stupire se si ricorda che nel caso di una sola variabile 

 complessa si intende che uno solo sia il punto all'oo ; e che con una trasfor- 

 mazione lineare sulle variabili complesse si può fare in modo che un qua- 

 lunque (2) n -i vada all' infinito. 



2. Premesso ciò, si supponga che in un punto x di un campo fonda- 

 mentale di G e nei punti equivalenti ad esso rispetto a G, la funzione U(xì) 

 sia sempre finita e che anzi sia sempre minore in valore assoluto di una 

 costante M: sarà dimostrata la convergenza assoluta di (1) appena lo sia 

 quella della serie 



(2) 



Ed invero in tale ipotesi ogni termine di (1) è in modulo minore del cor- 

 rispondente termine di (2) moltiplicato per M. 



Ora è facile vedere che appena sia soddisfatta la condizione: 



1°. Si può descrivere una ipersfera S di raggio sufficientemente 

 grande r tale che solo un numero finito di campi fondamentali abbiano 

 punti fuori di S; 



la serie (2) per m=2 converge per ogni punto X interno ad un campo 

 fondamentale, non equivalente ad un punto all'infinito rispetto a G e 

 tale che 



2° si può trovare un intorno a di X in cui il rapporto tra il 

 D(gxi) 



massimo ed il minimo di 



nei punti di a è minore di una co- 



stante q qualunque sia g. 



Basterà invero ripetere la prima dimostrazione del Poincaré. Infatti sic- 

 come X non è equivalente ad un punto all' infinito, esso non è neppure punto 

 limite di tali punti, poiché questi riempiono (per la condizione l a ) un numero 

 finito di varietà a 2n — 2 dimensioni (trasformate di {2)Z-i per le opera- 



