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in a, si ha — 2 <Cq, anche la serie yNl è 



- ,c.v.d, 



Si deduce che per gli stessi punti X la serie converge per m .> 2 . 



termini tutti finiti e, fatta astrazione per un numero finito di termini, minori 

 di quella per m = 2 ; quindi ancor essa converge. 



3. Prima di procedere allo studio più particolareggiato dell' ipotesi che 

 G sia lineare, dobbiamo fare qualche osservazione sulla portata delle ipotesi 

 fatte nella precedente dimostrazione. 



1°. Abbiamo supposto il punto X interno al campo fondamentale di Gr. 

 È evidente che la nostra dimostrazione vale ogni volta che il punto X ap- 

 partiene ad un numero finito di campi fondamentali, per modo che si possa 

 asserire che l' intorno a od uno qualunque dei suoi trasformati ha punti 

 comuni solo con un numero finito di questi intorni medesimi. 



2°. La ipotesi l a è essenziale nel precedente ragionamento perchè si 

 possa affermare che la serie ^v(ga) è convergente. Ma essa non è senza 

 efficacia relativamente all' ipotesi fatta nel numero precedente per quanto 

 riguarda la funzione Ji(xi) . R(#j) avrà infatti necessariamente una varietà 

 singolare a P 2( n-i) dimensioni, e perchè sia legittima l' ipotesi che R^,) 

 resti inferiore in modulo a una quantità finita M in X e nei punti equiva- 

 valenti a X occorre che il punto X ed i suoi trasformati non abbiano come 

 punto limite alcun punto di P 2( „_i). La possibilità di scegliere in questo 

 modo è evidente quando la condizione l a sia soddisfatta : basterà che R(^) 

 sia razionale intera. 



3°. Per quanto precede, la serie (1) converge assolutamente ed unifor- 

 memente in a, e quindi rappresenta una funzione delle variabili complesse 

 %i x% ... x n prolungabile in tutta la regione (connessa) di 2 2n che è ricoperta 

 dai campi equivalenti al campo fondamentale in cui si trova X . Invero non 

 esiste in questa regione di 2 2n una varietà a 2n — 1 dimensioni in cui (1) 

 diverga : poiché i punti in cui la serie può divergere sono : 1° punti equiva- 

 lenti a punti di o punti limiti di essi, 2° punti appartenenti ad 

 infiniti campi fondamentali. Questi ultimi punti non sono che sul contorno 

 di un campo fondamentale e non riempiranno nessuna varietà a 2« — 1 di- 

 mensioni che non sia contorno della regione di cui parliamo ('); quanto ai 



Infatti siccome 



converge, vi è solo un numero finito di termini 



di questa serie per cui 



> 1. Quindi la serie (2) ha, per w>2, i 



C) Le proprietà qui ammesse pei campi fondamentali e per le reti di tali campi 

 sono generalmente soddisfatte: non entriamo qui in una più minuta discussione su ciò: 



Eendiconti. 1906, Voi. XV, 2° Sem. 88 



