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primi si osservi che i punti equivalenti a punti di internamente ad ogni 



campo fondamentale formano una varietà a non più di 2n — 2 dimensioni ; 

 e quindi essi od i loro punti limiti possono riempire una varietà a 2n — 1 

 dimensioni, solo quando i punti di questa siano punti limiti di infiniti campi 

 fondamentali e cioè appartengano al contorno della regione di cui par- 

 liamo. 



4°. Alla condizione l a si può sostituire la seguente condizione: Preso 

 un punto X, si può descrivere un intorno di X tale che esso ed i suoi 

 trasformati siano interni ad una sfera S variabile con X. I punti che 

 non soddisfanno a questa condizione formano una varietà a 2{n — 1) di- 

 mensioni al piti; internamente ad ogni campo fondamentale. In particolare 

 stanno quindi su una varietà a 2(n — 1) dimensioni i punti trasformati di 

 punti di 



4. Passiamo ora a studiare più da vicino i gruppi lineari. Mostreremo 

 che in questo caso la condizione 2 a è conseguenza della l a (od anche della 

 condizione più ampia enunciata in 4°, n. 3). 



Cominciamo col supporre che non sia G un gruppo misto, e cioè che 

 non sia tale che le sue variabili si possano dividere in k sistemi tali, che 

 ogni operazione di G si componga di più trasformazioni ognuna operante su 

 uno di questi ìc sistemi. 



Un'operazione di G- si scriverà allora 



il denominatore essendo lo stesso per tutti gli indici i. Il Jacobiano di tale 

 trasformazione sarà allora ( J ) 



Cerchiamo il significato di tale Jacobiano. Si consideri il (^)n-i che 

 ha per equazione _j_ l ==> o ; esso è per g portato in . Posto 



b% — §ii -{- i ,b' = @-\-i §' le sue equazioni reali sono 



Ciascuna di queste equazioni rappresenta un 2 2n _i e questi due 2 2n _i si 



come non discutiamo sotto quali condizioni si può parlare di campi fondamentali pel 

 gruppo. Cfr. del resto su ciò Fubini, Annali di Mat. serie 3 a , voi. 12. 



(') Cfr. Fubini, Sulle funzioni automorfe ed ìperfuchsiane di più variabili indi- 

 fendenti, Annali di Matematica, voi. 10, ser. III. Una più semplice dimostrazione di ciò 

 sarà data in un trattato del Fubini sulle funzioni automorfe, di prossima pubblicazione. 



