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(onde in tal caso converrebbe meglio considerare i punti all' infinito di (2) n 

 come formanti k (2) n _ l ). Alla (4) si sostituirà la formula 



D(^) = rr 1 



E su tale espressione, in. base alla formula (5), si potranno ripetere ragiona- 

 menti del tutto analoghi a quelli precedenti, e conchiudere che la nostra 

 affermazione è vera ancora per tali classi di gruppi. 

 Avremo quindi: 



Se un gruppo di operazioni lineari è propriamente discontinuo e se 

 per una determinata rete di campii fondamentali è possibile descrivere 

 un ipersfera tale che solo un numero finito di campi fondamentali abbia 

 punti fuori di essa; 

 o, più generalmente, 



se per ogni punto della regione ricoperta dalla rete, il quale non 

 appartenga ad una certa varietà a 2n — 2 dimensioni, si può trovare un 

 intorno a tale che esso e tutti i suoi trasformati stiano entro una ipersfera 

 conveniente (dipendente dal punto), 



le serie (1) del Poincaré sono convergenti e rappresentano (ove si 

 ammetta che non sono identicamente nulle) funzioni delle variabili com- 

 plesse X\ Xi ... % n esistenti nella regione ricoperta dai campi della rete 

 medesima. Ed il rapporto di due di queste funzioni (ove si ammetta che 

 esse non sono solo differenti per un fattore costante) rappresenta una fun- 

 zione aulomorfa pel gruppo G. Pel gruppo G e per tutti i gruppi simili 

 ad esso è quindi dimostrato il teorema di esistenza. 



5. È chiaro che le classi di gruppi per cui è nota la convergenza delle 

 serie (1) rientrano nelle classi ora studiate. Essi sono invero: 



1°. Gruppi fuchsiani e kleiniani. Sarà n = \. Il si riduce 



ad un punto: e la nostra condizione si riduce all'altra che questo punto sia 

 un punto di propria discontinuità pel gruppo. A ciò ci possiamo sempre ri- 

 durre con una trasformazione lineare ('). 



2°. Gruppi iperfuchsiani. Si possono sempre ridurre a trasformare 

 in sè l'interno di una ipersfera ^xx Q = l: quindi il è esterno a 



tutti i campi fondamentali relativi a punti interni all' ipersfera ( 2 ). 



3°. Gruppi fuchsiani e iperfuchsiani misti. Si può fare in modo 

 che il gruppo su ogni sistema di variabili trasformi in sè una ipersfera 

 nello spazio subordinato in cui esse sono coordinate. Anche in tal caso 



{') Poincaré, Acta Mathematica, voi. 1 e 3. 



( 2 ) Picard, Acta Mathematica, voi. 1 e 4 ; Fuhini, Sulla teoria delle forme quadra- 

 tiche Hermitiane ecc. ed Applicazioni analitiche dei gruppi ecc. Atti dell'Accademia 

 Gioenia, serie 4 a , voi. XVII e Sulle funzioni automorfe ed iperfuchsiane di più varia- 

 bili indipendenti, Annali di Matematica, tomo 10, serie 3*. 



